[分享] 線代第一章重點
線代讀一讀做了個重點整理
想到昨天子敬ㄉㄉ說
高中在混沒學好
又常翹課不學好
要考試了
就來發個文做學術交流和普渡眾生吧
有錯或遺漏的請指正
發的有點晚....
要指正要快!!
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一.利用矩陣求聯立方程式:
(1)一個m x n 的 linear System
m表方程式個數
n表未知數X的個數
X1 + 3X2 + X3 = 5
2X1 + X2 + X3 = 8
這是個 2x3的linear System
(a) Over-determined Systems
m > n
(b) Under-determined Systems
m < n
(2)把聯立方程是直接置入矩陣中
以上述的方程式為例:
X1 + 3X2 + X3 ｜ 5
[ ｜ ] (我不會用更大的括弧..)
2X1 + X2 + X3 ｜ 8
二.高斯消去法(Gaussian Elimination)
(1)strict triangular form:
利用矩陣中的行列乘以某倍加至其他行
把矩陣中的第k行的前k-1個未知數的係數都變為0
而第k個係數不可為0
整個矩陣就像個倒三角形
例:
3X1 + 2X2 + X3 = 1
X2 - X3 = 2
2X3 = 4
(2) row echelon form 的三個條件
(a)每一列不為0的開頭要為1
(b)每一列帶頭的連續0要比上一列的多
(c)全為0的那列以下不可再出現0以外的數字
例:
1 4 2 1 2 3
[ 0 1 3 ] (o) [ 0 0 1 ] (o)
0 0 1 0 0 0
2 4 6 0 0 1
[ 0 3 5 ] (x) [ 0 1 1 ] (x)
0 0 0 1 0 0
三. 高斯喬登消去法(Gauss-Jordan reduction)
reduced row echelon form 的條件:
(a)必須為row echelon form
(b)每一列第一個不為0項是那行唯一不為0的數
例:
1 0 0 3 0 1 2 0
[ 0 1 0 2 ] [ 0 0 0 1 ]
0 0 1 1 0 0 0 0
四.轉置矩陣性質
T T
(1) ( (A) ) = A
T T
(2) (aA) = aA
T T T
(3) (A+B) = A + B
T T T
(4) (AB) = B A
五.單位舉陣 The identity matrix
單位舉陣(I):對角線全為1，其餘全為0
例:
1 0 1 0 0
[ ] [ 0 1 0 ]
0 1 0 0 1
性質: IA = A AI = A
六.三角矩陣 Triangular matrices
(1)Upper triangular (U)
為左下角三角為0的矩陣
例:
3 2 1
[ 0 2 1 ]
0 0 5
(2)lower triangular (L)
為右上角三角為0的矩陣
例:
1 0 0
[ 6 2 0 ]
1 4 3
七.對角矩陣diagonal matrix
對角線上不為0，其餘皆為0 (為 U & L 的合體)
例:
1 0 1 0 0
[ ] [ 0 2 0 ]
0 5 0 0 3
八.反矩陣Matrix Inversion
定義: AB = I
則 A B 互為反矩陣
性質:
(1)反矩陣是唯一的
證明:假設 B C 皆為A的反矩陣
B=BI=B(A C)=(B A)C=IC=C 得證
(2)並非所有矩陣皆有反矩陣，
singular表無反矩陣，nonsingular為有反矩陣
(3)若矩陣為nonsingular，則
-1 -1 -1
(AB) = B A
證明:
-1 -1 -1 -1 -1 -1
(B A )AB = B (A A)B = B IB = B B = I
-1 -1 -1 -1 -1 -1
AB(B A ) = A(BB )A = AIA = AA = I 得證
九.三階矩陣運算
(1)TYPE 1 (行列互換)
0 1 0
[ 1 0 0 ] (把單位矩陣一二列互換)
0 0 1
放在前面為列運算
0 1 0 1 2 3 4 5 6
[ 1 0 0 ][ 4 5 6 ] = [ 1 2 3 ]
0 0 1 7 8 9 7 8 9
放在後面為行運算
1 2 3 0 1 0 2 1 3
[ 4 5 6 ][ 1 0 0 ] = [ 5 4 6 ]
7 8 9 0 0 1 8 7 9
(2)TYPE 2 (行列的值變N倍)
1 0 0
[ 0 1 0 ] (把單位矩陣(3,3)的1變3)
0 0 3
1 0 0 1 2 3 1 2 3
[ 0 1 0 ][ 4 5 6 ] = [ 4 5 6 ]
0 0 3 7 8 9 21 24 27
1 2 3 1 0 0 1 2 9
[ 4 5 6 ][ 0 1 0 ] = [ 4 5 18 ]
7 8 9 0 0 3 7 8 27
(3)TYPE 3 (行列倍數相加)(重要!!)(這就是高斯消去法!!)
1 0 3
[ 0 1 0 ] (在(1,3)放3)
0 0 1
1 0 3 a b c a+3g b+3h c+3i
[ 0 1 0 ][ d e f ] = [ d e f ]
0 0 1 g h i g h i
a b c 1 0 3 a b c+3a
[ d e f ][ 0 1 0 ] = [ d e f+3d ]
g h i 0 0 1 g h i+3g
記憶法:(如果是在(x,y)加上n，就是把y行或列的n倍加到x行或列)
十.求反矩陣
利用 (E1E2E3....Ek)A=I
-1
得到 A =E1E2E3...Ek
再利用之前的 TYPE3 把A轉換成 Upper triangular (U)
得到(E1E2E3)A = U
^^^^^^^^=A的反矩陣
-1 -1 -1
移項得到 A = E3 E2 E1 U
-1 -1 -1
而E3 E2 E1 剛好會等於A的lower triangular (L)
-1 -1 -1
得到 L =E3 E2 E1 A = LU
祝大家線代考高分
為下幾次的考是鋪點路!!
前面考高一點後面才可以隨便考(小聲)
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◆ From: 123.204.193.100
※ 編輯: building99 來自: 123.204.193.100 (10/20 10:19)
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