[數學]Zorn's lemma
Zorn's lemma 網頁或書應該都查得到 沒用過應該也聽過
我想如果有修基數的人...也許也許...用得到
以下可以讓人看得懂的版本...XD
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DEF: Relation
給定任意兩集合 X,Y 所謂 relation R 就是 XxY 的一個子集
一般我們把 (x,y) in R 這件事情 記作 xRy or x ～ y
DEF: Partial ordering
給定集合X. 考慮 X 上面的 relation 根據上述定義 也就是 XxX上面的子集 R
符合兩個條件
(i) If xRy and yRz then xRz
(ii) If xRy and yRx then x = y
稱此 relation 為 partial ordering. (通常把 R 記作 ≦ or ≧)
若一個
example: 給定任意 Y, 令 X = P(Y) (power set of Y)
定義 R = {(A,B) is in XxX| A is contained in B}
則符合上述條件. (在此可把 R 記作 ≦)
DEF: Linear ( or tatol) ordering.
延續上述定義 若 X 在上面已有一個 partial ordering R, 且符合下面條件
Given x,y in X, then either xRy or yRx.
我們稱此集合為 linear ordered set by R ( or by ≦)
DEF: Upper bound & maximal element
<Upper bound>
給定一個 partial ordered set X by R ( or by ≦)
若 Y 是 X 中的一個子集, a 是 X 中的元素 (不必要在 Y 中)
若 對於所有 y in Y, yRa (or y≦a) 則稱 a為 Y 的一個 upper bound.
<maximal element>
給定一個 partial ordered set X by R ( or by ≦)
若 Y 是 X 中的一個子集, b 是 Y 中的元素
給定任意 y 在 Y 中, 若 b≦y, 則 b = y.
稱此 b 為 Y 的一個 maxiaml element
Remarks:
(i) upper bound, maximal element 不見存在 也不見得唯一
(ii)upper bound 不見得是個 maximal element
maximal element 也不見得是個 upper bound
(iii) maximal element的含意是 "沒有人比他大" 但不代表 "他比誰都大"
DEF- chain
X 是一個 partial ordered set
若 Y 是 X 的子集 且 Y 本身是個 linear ordered set (與X用同種ordering)
則稱 Y 是一個 chain
最後 Zorn's lemma -
X is a partial ordered set.
If for any chain of X which has an upper bound in X,
then X has a maximal element.
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推
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