[數學] sinA+sinB+sinC > 2 之證明
一番天人交戰之後，
還是決定po出這個極醜的作法 ><
題目：試證明銳角ΔABC中，sinA + sinB + sinC > 2
證明：
設ΔABC的外接圓圓心O，外接圓半徑R
∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c
不失一般性，令∠A≧∠B≧∠C。
∵正弦定理a=2RsinA b=.....
∴原題相當於去證 a + b + c > 4R
※注意，因為是銳角三角形，所以O在ΔABC的內部
若是鈍角三角形，則無此性質。
A _..─.._
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D├──┴──┼───── | C
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B ╲ ｜ ╱
╲ ｜ ╱
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'''─'''
如圖，作直徑CD。
Case1：∠C＞π/4
∵π/2＞∠A≧∠B≧∠C＞π/4...............(1)
∠AOC=2∠B, ∠BOC=2∠A..................(2)
∴π＞∠BOC≧∠AOC ＞π/2.................(3)
故A在第二象限,B在第三象限無疑。
Case2：∠C≦π/4
必須要有π/2＞∠A≧∠B＞π/4..............(4)
因為若再有一角≦π/4，則第三角≧π/2，與銳角三角形矛盾。
故A在第二象限,B在第三象限無疑，推論同上。
確定A,B的位置後，才可確定CD交AB於一點F。
作A到CD的垂足AH
顯然AC＞CH
AF≧AH＞HD （∠ADH＞∠ACD＝∠DAH, 大角對大邊,A點在第二象限時才成立）
相加得AC+AF＞2R。
同理，BC+BF＞2R
相加得證a+b+c＞4R
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雖然沒有設xy計算，但這個作法也是解析幾何，
因為必須建立參考座標，
然後再去討論相對位置，以及各個量的大小關係。
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知道我不想po的原因了吧....|||
要不是p2當了，我才不會閒到這種程度 XD
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╭─╨─╖ ╭──╫─╖ ║ ∥╲ 不過.....我的實力
║╨╥╨║ ╯二 ╯二╯ ║ ∥ ╲
║ ║ ║ ╫╫ ╭─╖ ──╫── ∥ 令 ╲ 已經配不上這個稱號了
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╜ ╯●╯ ─╫─╟─╢ _／ ╲_ ∥￣￣￣￣ real㊣temper
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