[討論] 賭博下注問題
problem formulation:
共n個選項 1~n,每個選項有Ti張(只考慮我下注後的張數) 每張c元 我有M元
假設沒有稅率
在這邊使用兩種方法下注:
1.每個選項都下
2.先計算用1.時若賠錢會損失的金額 再用此數目平均下在用1.時會賺錢的選項上
以下是計算
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ΣTi*c
首先 若開出k選項 則每張可得 ------ 元
Tk
M M
1. 平均下 則每個選項可下 --- 張 或 --- 元
c*n n
ΣTi*c M ΣTi*M
則可收到 ------ * --- = ------- 元 令為G
Tk c*n Tk*n
則當 M < G時 有賺
ΣTi
也就是 Tk < ---- 時, ie. Tk < 平均張數 則可賺(廢話...)
n
令上述不等式為 F
且 W = {i|1<=i<=n,i滿足F} w為W的元素個數
L = {i|1<=i<=n,i不滿足F} l為L的元素個數 (不考慮=的情況)
令屬於的符號為<: (bbs打不出來...)
則 iw <: W
il <: L
而Gw 為開出iw時收回的金額
Gl 為開出il時收回的金額
故開出il時 身上有Gl元 共損失 M - Gl元
令ilm為不滿足F且Tl最少之選項 (即若開出ilm會虧錢,但虧最少)
Glm為開出ilm時所得到的金額
2.只下iw選項
首先身上先留 Glm元 若開出ilm選項不會比(1)還慘
則可拿來下注的金額為 M - Glm
M-Glm
所以每個Tw都可下 ------ 張
w*c
僅討論開出iw時的情況(因為若開出ilm則就跟1.一樣 若開出其他之il則會比2.好一點)
ΣTi*c M-Glm ΣTi*(M-Glm)
所以若開出iw則可得到 ------ * ----- 元,即 ------------ 元
Tw w*c Tw*w
ΣTi
故當 ---- > 1時將會賺錢,因為w < n(不可能每個選項張數都小於平均張數)
Tw*w
又Tw為張數小於平均張數的選項張數 所以此式必定成立 故若開Tw必賺錢(還是廢話...)
以上
還沒結束
......你以為降子就結束了嘛? 降子這篇文章有意義嘛?沒有嘛~
所以
ΣTi*M
若開出ix <: W選項 用1.的方法身上將有 ------ 元
Tx*n
ΣTi*(M-Glm) ΣTi*M
而若用2.的方法 身上將有 ------------ + Glm元 又Glm = --------
Tx*w Tlm*n
ΣTi*M ΣTi*M ΣTi*M ΣTi ΣTi*M
則當 ------- + ------ > -------- + ----- * ------- 時 用2.的方法比用1.方法賺
Tx*w Tlm*n Tx*n Tx*w Tlm*n
Tx*w*Tlm*n
全式同乘 ----------- 可得 Tlm*n + Tx*w > Tlm*w + ΣTi
ΣTi*M
=> Tlm*(n-w) + Tx*w > ΣTi => Tlm*l + Tx*w > ΣTi
又ΣTi = Lavg*l + Wavg*w (Lavg為L之平均,Wavg為W之平均)
=> Tlm*l + Tx*w > Lavg*l + Wavg*w
=> (Tlm - Lavg)*l + (Tx - Wavg)*w > 0
=> (Tx - Wavg)*w > (Lavg - Tlm)*l
l
=> Tx > Wavg + (Lavg - Tlm)*--- = constant
w
ΣTi
又Tx必小於Tavg (Tavg = 平均張數 = ----- )
n
l
所以當 Tavg > Tx > Wavg + (Lavg - Tlm)*--- 時 2.比1.賺的多
w
l
反之當Tx < Wavg + (Lavg - Tlm)*--- 時 1.比2賺的多
w
.....先降子 沒時間驗證 等哪天有空再說 我居然不趕程式在這邊算這個-.-
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◆ From: 61.230.201.222
※ 編輯: krscent 來自: 61.230.201.222 (06/28 03:00)
推
06/28 03:18, , 1F
06/28 03:18, 1F
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06/28 03:27, , 2F
06/28 03:27, 2F