[幾何] 幾何原本欣賞：正二十面體
最近看舊書《幾何原本》，發現一些漂亮的作法，與版友分享。
這次分享有關正二十面體的命題，以後有機會再寫別的。
以下內容參考《幾何原本》，主要出自第XIII冊，這一冊介紹各種正多面體。
主要定理則是XIII.16。我會用自己的想法改寫，但保留原來的精神。
開始
一、中外比
「中外比」就是現在說的黃金分割，它的定義在第VI冊，但早在II.11就給出了尺規作圖，
並在IV.10、IV.11利用中外比的性質求作給定圓內接正五邊形。
定義(中外比)：
設有一線段(記為"大")，分割為2個線段(記為"中"、"小"，顯然大=中+小)。
若大：中=中：小 (或 大小=中中)時稱中、小成中外比。
熟知正二十面體裡面包含正五邊形，而正五邊形和中外比息息相關，因此從中外比切入
相當自然。事實上在第XIII冊中的前幾個命題，就是在證明中外比的一些性質。
我們首先要用到的性質如下：
性質(XIII.1)
(中 + 大/2)^2 = 5 (大/2)^2
(小 + 中/2)^2 = 5 (中/2)^2
證明很簡單省略，值得說明的是，依現代常見的思維是先解出
大：中=中：小= (1+sqrt(5))/2，然後不管要證明什麼等式都直接代入硬算。
但《幾何原本》的證則是用中外比定義之關係式想辦法兜出所求。
二、正五邊形邊長
熟知中外比=頂角36度的等腰三角形中的腰：底=正十邊形外接圓半徑：邊長
但要研究正五邊形，我們還缺少一個成分，即
頂角72度的等腰三角形的腰：底=正五邊形外接圓半徑：邊長
這用三角函數來算不會很難，《幾何原本》的結果出乎意料的漂亮：
性質(XIII.9、XIII.10)
設半徑為r的圓中正五邊形的邊長為a5、正六邊形的邊長為a6、正十邊形的邊長為a10。
則
a6、a10成中外比
a5^2 = a6^2 + a10^2 (故a5、a6、a10構成直角三角形)
這裡比較神祕的地方是《幾何原本》其實沒寫到圓半徑，但我們知道正六邊形的邊長
就是半徑(r=a6)
這個證明也很有意思，但先暫時保留。反正應該可以相信「這可以算」，但為什麼正好可
表成平方和就是神奇的地方。
三、正二十面體的作圖
1. 先設半徑r待定
2. 在平面E1上作半徑為r之圓O1，及其內接正十邊形A0A1...A9，則邊長為a10。
3. 取E2和E1平行，距離為a6，
分別過O1, A1, A3, A5, A7, A9作E1之垂線交E2於O2, B1, B3, B5, B7, B9
則A1A3A5A7A9-B1B3B5B7B9為底面正五邊形(邊長a5)，高為a6的五角柱，
特別的O1O2=a6
4. 於O1O2直線上O1O2外側作X、Y使得XO1=O2Y = a10
則X-A0A2A4A6A8、Y-B1B3B5B7B9為底面正五邊形(邊長a5)，高為a10的五角錐
Claim：X-A0A2A4A6A8-B1B3B5B7B9-Y 組成正二十面體
只要驗證
(i) AnBn+1 = a5 (同理 An+1Bn = a5 )
(ii) XAn = a5 (同理YBn = a5)
但
AnAn+1Bn+1是直角三角形，兩股為AnAn+1=a10, An+1Bn+1=a6，由XIII.10，AnBn+1=a5
XO1An也是直角三角形，兩股為XO1=a0, O1An=a6，由XIII.10，XAn=a5
到這裡，其實已經證出所求是正二十面體(在第XI冊定義中，只要求正二十面體是由
20個等邊三角形組成。)但《幾何原本》還繼續補充
5. 證明所求正二十面體內接於球(XY為球直徑)
利用圓周角，只要證明角XAnY是直角(同理 角XBnY也是直角)
考慮三角形XAnY，AnO1是XY上的高，但O1X=a10, O1An=a6, O1Y=a6+a10
由XIII.9知 a6, a10成中末比，O1X O1Y = O1An^2，故XAnY為直角(可用相似證明)
6.由外接球半徑R求作待定半徑r
這步本來是在最前面，但一開始就這樣作會天外飛來一筆，我改成後面補述，比較清楚。
由作圖，R^2=(XY/2)^2 = (a10+ a6/2)^2
但在中外比中，a6=中, a10=小，故由XIII.1得 R^2 = 5(r/2)^2，即 球直徑^2 = 5r^2。
作圖如下：
作半徑為R的圓並取直徑AB，在AB上取C使得AC:CB=4:1
過C作AB垂線交圓於D，則r=BD
四、Remark
在這個做法中，正二十面體被拆解為2個五角錐與1個反稜柱(antiprism)的組合，
再利用XIII.10證明各邊長相等，非常漂亮。然而並未完全證明其對稱性，雖然證明所求
正二十面體內接於球，但從另一方向來看是否仍為相同的五角錐-反稜柱結構並不清楚。
另一個更深的問題是唯一性，但初步檢視《幾何原本》第XI、XII、XIII冊有關立體幾何
部分，並不像平面幾何一樣有SAS、SSS、ASA等全等性質可以用，可能當時也不是很在意
這種問題，能夠作圖出來就好了(雖然說立體作圖要怎麼實行也是很神祕)。
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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。
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