[其他] 如何看無窮，自然數列下，觀點有哪些？

看板Math作者ginstein (邁向學術之路)時間2月前 (2025/09/30 08:53)推噓5(5推 0噓 23→)

留言28則, 2人參與討論串1/1

[無窮數列的盡頭是什麼？]一文中，利用自然數數列 {1, 2, ..., n} 的增長過程，區分潛無窮、實無窮、超無窮，說明無窮概念演進。本文加入無(窮X)限序數觀點進行比較，其中有限結界（有限屏障、有限壁壘， barrier of finiteness）的概念，符號 ||（簡化時 ‘|’），有助形式化無窮觀點，區別異同之處。本文只論自然數增長過程的數列，以下描述數列時，省去形容詞「自然數」。潛無窮（有(窮X)限觀）：有限數列 {1, 2, ..., n} 的項數 n 可無限增大（潛無窮），但永遠有限（有(窮X)限觀）。有(窮X)限觀者（有限主義者）只認可有限數列的存在。永遠存在 n 之後的自然數 n+1，n+2，...。實無窮（實(窮X)限觀）：有限數列 {1, 2, ..., n} 的極限，是無窮數列 {n} = {1, 2, ..., n, ...}，包含了全部標準的、有限大自然數，起點為 m 的無窮數列 {m, m+1, ...} 極限為空數列。也可表示為 {n} = {..., n, ... |} = {..., n, ... ||ψ}，ψ 代表空項。標準數學採用實無窮觀點，是觸及有限結界的實(窮X)限觀。無(窮X)限序數（序數觀）：實無窮、有限結界後，可利用序數和有序數列等價性，和後繼概念定義無窮序數。參考 [Ordinal number (wiki)]，本文改寫為 n ↔ {1, 2, ..., n}，w ↔ {..., n, ... |}， w + 1 ↔ {..., n, ... || w + 1}， w + 2 ↔ {..., n, ... || w + 1, w + 2}， 2 w ↔ {..., n, ... || w + 1, w + 2, ... |}，依此類推，w^2 ↔ {..., n,... || (w + 1, ... |)，(2w + 1, ... |)，...，(n w +1，... |)，... |}，更進一步能得到 w^3，w^n，w^w，w^w^w，w^w^w^...，甚至產生更多新類型序數，包括不可數序數。 [布拉利-福爾蒂悖論]斷言「所有序數的集合」會導致矛盾。超無窮（超(窮X)限觀）：數列 {1, 2, ..., n} 趨向無窮時超越有限結界，延伸出超無窮數列 {n^*} = {|..., n^*, ...}，全無窮數列為 {n || n^*} = {..., n, ... || ..., n^*, ...}，其中足標 n 是有限自然數，稱足標 n^* 為超(窮X)限自然數。超(窮X)限觀下，無窮數列的盡頭還是無窮數列，在結構上自我相似，概念上閉環。因結構自我相似，無窮數列的盡頭是無窮數列，類似無(窮X)限序數觀點，全無窮數列可以進行如下拆解： {..., n, ... ||..., n^*, ...} = {..., n, ... || ..., n’, ... | ..., n^**, ...} = {..., n, ... || ..., n’, ... | ..., n’’, ... | ..., n^***, ...} = {..., n, ... || ..., n’, ... | ..., n’’, ... | ..., n’’’, ... | ...} ↔ {..., n, ... || w + 1, ... | 2w + 1, ... | 3 w +1，... | ... }。對比布拉利-福爾蒂悖論，超無窮觀點概念上閉環，難以簡明說清的層面上，似乎複現了潛無窮與實無窮的觀點差異。兩種觀點有所類似但不等價，因非本文目標，異同程度暫不細究。本文利用自然數數列 {1, 2, ..., n} 的增長過程，區分潛無窮（有(窮X)限觀）、實無窮（實(窮X)限觀）、無(窮X)限序數（序數觀）及超無窮（超(窮X)限觀）。數學世界中的無窮有許多種，每個人都有自己認知的那一種。對於如何看無窮，你有什麼看法？無窮數列的盡頭是什麼: https://dreamchen-2025-github-io.pages.dev/20250921/無窮數列的盡頭是什麼？ Ordinal Number: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number 布拉利-福爾蒂悖論: https://en.wikipedia.org/wiki/Burali-Forti_paradox -- At the end, it never ends. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.69.12.24 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1759193600.A.A32.html

推