[其他] 反直覺或反邏輯？反思箱中球悖論

看板Math作者 (邁向學術之路)時間3月前 (2025/09/04 01:34), 編輯推噓2(2推 0噓 22→)
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以下內容摘要自「箱中球悖論（上）」。 箱中球問題（原型）： 有一個空箱，甲乙兩人輪流向箱子放球、取球， 每輪甲先放進兩顆球，接著乙取出一顆球。 第一輪耗時 1 分鐘，之後每輪用時減半， 總耗時是無窮等比級數，經過無窮多輪， 全部過程在兩分鐘時停止，之後箱中球數不再變化。 請問「最終箱子裡會有多少球」？ 想法一（丙）：既然每輪甲放進兩顆球，乙取出一顆球，每輪箱子多一顆球， 經過無窮多輪，當然箱子裡「最終有無窮多顆球」。 想法二（丁）：丁假設放球取球規則如下： 第 N 輪時，甲先放進 2N-1, 2N 號球，接著乙取出 N 號球。 具體來說，第一輪甲放進 1, 2 號球，接著乙取出 1 號球。 第二輪甲放進 3, 4 號球，接著乙取出 2 號球。 第三輪甲放進 5, 6 號球，接著乙取出 3 號球，依此類推。 丁說因為第一輪取出 1 號球，第二輪取出 2 號球， 第 N 輪取出 N 號球，依此類推。兩分鐘到後，經過無窮多輪， 由皮亞諾公理可知，取出所有自然數的球號，因此箱子裡「最終沒有球」。 更多想法可參考「箱中球悖論（中）」。 箱中球問題這類悖論的根源有多種觀點，例如 「定義不良」、「敘述不清」、「條件不足」或（無窮多球的）「直覺不對」。 許多專家各有看法，目前尚無定論。 這裡補充「視而不見」的觀點。 想法二中，每輪取出本輪球號後，第 N 輪箱子裡剩下 N+1 到 2N 號球， 經過無窮多輪，剩下無窮多顆無窮大編號的球， 把無窮多無窮大的自然數當作「不存在」，也可能是悖論根源之一。 標準分析中，為了避免經典悖論，排除無窮大(自然)數的概念， 補好西牆的代價或許是拆了東牆。 箱中球悖論的根源是定義不良？敘述不清？條件不足？直覺不對？或視而不見？ 無窮大(自然)數的概念不存在嗎？還是標準公理體系不夠完整， 未能刻劃出更多的自然數性質？關於箱中球悖論，你有什麼看法？ -- At the end, it never ends. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.69.12.24 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1756920855.A.A16.html
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09/04 01:36, 3月前 , 1F
感覺有點洗版，剛好接下來重點，會久點，一周吧。
09/04 01:36, 1F
推
09/04 09:14, 3月前 , 2F
定義不良跟敘述不清是同樣的問題。然後我覺得這個
09/04 09:14, 2F
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09/04 09:14, 3月前 , 3F
就是定論了
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09/04 13:27, 3月前 , 4F
還是有點差別，名詞跟句子組織，雖然算同類啦。
09/04 13:27, 4F
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09/04 15:41, 3月前 , 5F
我越來越搞不懂你這系列想做什麼了。原本的問題是
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09/04 15:42, 3月前 , 6F
物理上不可能的。你提出的很多觀點在數學上都對應不
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09/04 15:42, 3月前 , 7F
同的操作與極限的選擇。會得到這麼多不同結果就是告
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09/04 15:42, 3月前 , 8F
訴我們處理極限、無窮等概念時，不能用原本處理有限
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09/04 15:44, 3月前 , 9F
的思維與直覺看待，甚至定義操作本身都需要額外的精
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09/04 15:45, 3月前 , 10F
力。儘管如此，你還是認為有一個適當的框架，可以與
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09/04 15:46, 3月前 , 11F
將此問題合理的解釋為唯一一種操作且與現行數學語言
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09/04 15:47, 3月前 , 12F
相容嗎？為什麼你不提出你要的結果並以此反推所需
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09/04 15:48, 3月前 , 13F
框架的性質來開始建立呢？
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09/04 21:17, 3月前 , 14F
這就是為什麼絕大部分的悖論都是ill-defined
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09/04 21:18, 3月前 , 15F
而且都跟無限有關lol
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09/04 21:53, 3月前 , 16F
c大太多？了xd 至少物理也不存在所有自然數，康托
09/04 21:53, 16F
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09/04 21:53, 3月前 , 17F
爾說過，數學的本質在於它的自由。
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09/04 21:55, 3月前 , 18F
b大如果拿這些問題來問ai，回答也蠻有趣的
09/04 21:55, 18F
推
09/04 22:19, 3月前 , 19F
恩…還是要了解數學跟哲學關心的問題不一樣就是了
09/04 22:19, 19F
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09/04 22:19, 3月前 , 20F
很多沒受過這方面訓練的「數理愛好者」無法分辨兩者
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09/04 22:19, 3月前 , 21F
的差異
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09/04 22:25, 3月前 , 22F
這也是為什麼國外比較專業的數學論壇會對發文有規範
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09/04 22:25, 3月前 , 23F
(即使是問一個valid的問題)
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09/04 22:25, 3月前 , 24F
當然這裡我是覺得沒差
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