[其他] 每個自然數都是有限大嗎？

看板Math作者ginstein (邁向學術之路)時間3月前 (2025/09/02 11:54)推噓9(9推 0噓 33→)

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微積分早期時，歐拉在《無窮小分析引論》中，直覺地使用無窮小和無窮大(包括自然數)，啟發式推導出了許多公式，雖不嚴謹但絕大多數都是正確的。現代數學的一個重要基礎觀點是──每個自然數都是有限大。因為皮亞諾公理體系定義了自然數集合，並將有限集定義為對應某個自然數。另一種方式是將自然數起點定義為有限，有限自然數的後繼亦有限，透過數學歸納法得出每個自然數都是有限大。那麼，從起點「不斷加一」的自然數，是永遠有限大的狀態嗎？還是會超越有限，變成無窮大的狀態呢？為方便用具體方式陳述，以下設自然數起點為 1，無窮數列可表示為 x={x_n}={x_1, x_2, ..., x_n, ...}。用 x >_a y 表示數列 x={x_n} 終究大於數列 y={y_n} （存在自然數 N，當 n>N 時恆有 x_n>y_n）。令數列 S={1, 2, 3, ...} 為自然數無窮數列。稱數列 N^m 為 m 號有限自然數生成數列， N^1={y^1_n}={1, 1, 1, ...}，N^2={y^2_n}={1, 2, 2, ...}， m 號生成數列 N^m={y^m_n}={1, 2, ..., m-1, m, m,....}，當足標 n<m 時分項 y^m_n=n 顯示遞增狀態，當 n≧m 後分項 y^m_n=m 保持不變。注意到每個數列 N^m 對應自然數 m。集合 {N^m | m 為自然數} 對應自然數集合 {m | m 為自然數}。顯然對任意(有限的)自然數 m 有 S={n} >_a {1, 2, ..., m-1, m, m,....}=N^m，不斷加一的自然數終究大於任意有限自然數。「不斷加一的自然數大過所有的有限自然數後」，我們進一步追問的是，自然數數列 {n}={1, 2, 3, ...} 的盡頭是什麼？所有的有限自然數後是「空了不存在」嗎？還是「存在無窮大自然數」呢？每個自然數都是有限大嗎？對這個重要的數學基礎觀點，你有什麼看法？ -- At the end, it never ends. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.69.12.24 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1756785273.A.249.html

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sunev

09/02 16:40, 3月前 , 1^F

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LPH66

09/02 19:37, 3月前 , 2^F

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LPH66

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