[中學] 成大入學題四個實根證明b

看板Math作者DreamYeh (天使)時間3月前 (2024/01/29 22:53)推噓5(5推 0噓 2→)

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題目出自成大數學系112年學士班申請入學數學科筆試，其他各題目都能解很快，這一題不知為什麼卡住題目：設a, b為實數，且x^4 - 4x^2 + ax + b = 0 有四個實根試證明：|b| <=2 我的證明法（非解答，僅供參考）原式可寫為 (x^2 + sx + t ) (x^2+ ux +v) 其中s, t, u, v都是實數又由三次項可得 s + u = 0 以此簡化原式為 (x^2 + sx + t ) (x^2 -sx +v) 二次項可得 -s^2 + t + v = -4 常數項可得 tv = b 一開始想動用算術幾何不等式，但那要t,v都>0才行可去想 b = tv <= (t^2+v^2 + 2tv)/4 （移向可得 (t-v)^2 >0 這在實數皆成立 ) b <= (t+v)^2/4 = (-4+s^2)^2 / 4 = (4-s^2)^2 / 4 < (4)^2 / 4 = 4 因此|b| <= 4 然而這想法又感覺蠻繞，而且最後居然是證明<=4而非題目說的<=2 因此詢問是否有更簡潔易懂且嚴謹的證明 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.161.129.22 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1706540008.A.C9F.html

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inch01742

01/29 23:12, 3月前 , 1^F

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inch01742

01/29 23:18, 3月前 , 2^F

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Bugquan

01/29 23:54, 3月前 , 3^F

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