[微積] 一題超級難的類微分與最佳化問題

看板Math作者 (God of Computer Science)時間1年前 (2024/01/16 23:11), 1年前編輯推噓1(1推 0噓 28→)
留言29則, 3人參與, 1年前最新討論串1/1
如題，本魯剛修完臺大的 information theory 課程，期末考 3(b) 用 KKT 解最佳化 不但某個 case 的反函數沒有 closed form，而且本題只配 8 分，好這不是重點。 我最後餘下的問題是，給你一個 obj = log2(1+r+r^2+...+r^d) - log2(r)*B， 其中 d 是非負整數，且 0 <= B <= d/2 (這個上界我猜不需要)，且 r >= 0 必須滿足 1*r^1+2*r^2+3*r^3+...+d*r^d = B * (1+r+r^2+...+r^d)， 已知如果定義 f(r) := (r+2*r^2+3*r^3+...+d*r^d) / (1+r+r^2+...+r^d)， 則在 r >= 0 之下 f 嚴格遞增，言下之意 f(r)=B 有唯一解 r。 事實上，f(0) = 0，f(1) = d/2，f(inf) -> d. 那現在我想知道的是，維持一定的遊戲規則，當 B 固定，d 增加的時候，obj 會保證增加嗎？是否有反例？這個缺口補上之後，這一題的檢討才算真正完畢。 豐厚批幣款待，穴穴各位！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.218.58 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1705417885.A.947.html ※ 編輯: alan23273850 (140.112.218.58 臺灣), 01/17/2024 00:29:49
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01/17 01:14, 1年前 , 1F
我好像解出來了，答案是肯定的！我把原 obj 用連鎖
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率以 r 為中間變數對 B 作微分之後，運用反函數的
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微分公式消去一些項之後，剩下 -log2(f^-1(B))，又
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根據 f 的函數圖形，B 固定的時候 d 遞增則 f^-1(B
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) 遞減則 -log2(f^-1(B)) 遞增，此現象對每個 B 都
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如此，因此 obj 從原點出發的時候就永遠是大的 d
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贏了！
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事實上 B 還必須 > 0 才行
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如果還要更細緻的討論的話，就是這個函數在 B=0 和
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B>0 之間也許沒有連續，所以如果只依賴 B->0 時的
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函數值 -> 0 for all d 的話，要怎麼 claim 大 d
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的函數值較大還是個問題...
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01/17 10:07, 1年前 , 13F
請問你們課本是用哪一本？
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01/17 10:55, 1年前 , 14F
老師開口閉口都是 cover & thomas，還有另外幾本比
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較次要的
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01/17 11:09, 1年前 , 16F
謝謝，我最近也想學一些動態最佳化
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01/17 12:23, 1年前 , 17F
那是 information theory 的課本不是 optimisation
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專書
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01/17 14:22, 1年前 , 19F
謝謝，弄錯了，真尷尬><
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01/18 17:59, 1年前 , 20F
最後終於把整個問題全劇終，從原點極限搭配向右出
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01/18 17:59, 1年前 , 21F
發的大小關係便可以 implies 函數永久的大小關係，
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OBJ 跟老師從作業結論 reduce 過來的解一模一樣，
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01/18 17:59, 1年前 , 23F
老師真的猴腮雷！這小題的檢討我寫了四面答案卷，
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希望其他題不會讓我這麼崩潰
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01/18 18:00, 1年前 , 25F
* 20F：向右出發的「斜率」大小關係
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01/18 20:01, 1年前 , 26F
然後 B = 0 有唯一解 0
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推
01/19 10:00, 1年前 , 27F
1.「維持一定的遊戲規則」是什麼意思？2.建議交代一
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01/19 10:00, 1年前 , 28F
下題目背景，或者乾脆寫出整個第四大題，這種較複雜
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01/19 10:00, 1年前 , 29F
的題目，更需要給別人參與討論/解決問題的動機
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