[代數] 一題完全平方數的證明

看板Math作者 (永遠的快樂)時間1年前 (2023/02/13 15:27), 編輯推噓7(7推 0噓 18→)
留言25則, 5人參與, 1年前最新討論串1/1
已知a、b皆為正整數 且3a^2+a=4b^+b 證明(a-b)(3a+3b+1)為完全平方數 且a-b及3a+3b+1皆為完全平方數 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 210.243.35.253 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1676273244.A.EF8.html
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02/13 15:55, 1年前 , 1F
建中科班入學考題 假設最大公因數的分解即可
02/13 15:55, 1F
推
02/13 19:00, 1年前 , 2F
樓上太複雜，把該式移項成3(a^2-b^2)+(a-b)=b^2，
02/13 19:00, 2F
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02/13 19:02, 1年前 , 3F
也就是 (3a+3b+1)(a-b) = b^2，至少可先證最後一條
02/13 19:02, 3F
推
02/13 19:09, 1年前 , 4F
這題應該是出錯了。
02/13 19:09, 4F
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02/13 19:13, 1年前 , 5F
樓上怎麼說呢
02/13 19:13, 5F
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02/13 20:12, 1年前 , 6F
依條件移項可得 3a^2 + a - (4b^2 + b) = 0 ，
02/13 20:12, 6F
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02/13 20:12, 1年前 , 7F
a的公式解為 a = (-1±sqrt(16b^2+4b+1))/6
02/13 20:12, 7F
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02/13 20:12, 1年前 , 8F
此時sqrt(16b^2+4b+1)應為整數，
02/13 20:12, 8F
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02/13 20:13, 1年前 , 9F
但(4b)^2 < 16b^2+4b+1 <(4b+1)^2，與條件矛盾
02/13 20:13, 9F
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02/13 20:34, 1年前 , 10F
樓上公式解好像解錯了
02/13 20:34, 10F
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02/13 20:38, 1年前 , 11F
我講的是第二小題喔
02/13 20:38, 11F
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02/13 21:23, 1年前 , 12F
那樓上會用到我的分解嗎？
02/13 21:23, 12F
推
02/13 21:49, 1年前 , 13F
也要用，但我猜第一小題四分應該是送分等級，大家
02/13 21:49, 13F
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02/13 21:49, 1年前 , 14F
都卡在第二小題
02/13 21:49, 14F
推
02/13 21:55, 1年前 , 15F
d(h-k)(3dh+3dk+1)=d^2k^2, (d,3dh+3dk+1)=1&(h-k
02/13 21:55, 15F
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02/13 21:55, 1年前 , 16F
,k)=1 ,(h-k,d)=d~?
02/13 21:55, 16F
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02/13 22:27, 1年前 , 17F
確實少乘3出錯了，剛有找出一組解 a=30, b=26
02/13 22:27, 17F
推
02/13 23:18, 1年前 , 18F
照上面的因式分解(a-b)(3a+3b+1) = b^2，
02/13 23:18, 18F
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02/13 23:18, 1年前 , 19F
接下來只要證明a-b與3a+3b+1互質即可，
02/13 23:18, 19F
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02/13 23:18, 1年前 , 20F
令a-b與3a+3b+1的gcd為d，
02/13 23:18, 20F
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02/13 23:18, 1年前 , 21F
可得d為 (3a+3b+1) - 3(a-b) = 6b+1的因數，
02/13 23:18, 21F
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02/13 23:18, 1年前 , 22F
且d更為 b(6b+1) - 6b^2 = 1 的因數，則 d=1
02/13 23:18, 22F
推
02/13 23:23, 1年前 , 23F
上面那行得d為b的因數，配合d為6b+1的因數得d=1
02/13 23:23, 23F
推
02/13 23:32, 1年前 , 24F
水喔！樓上兩大巨頭的解答都非常的清楚，原來拆成
02/13 23:32, 24F
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02/13 23:32, 1年前 , 25F
最大公因數真是豁然開朗！
02/13 23:32, 25F
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