Re: [代數] 請教一題複數證明
※ 引述《rfvbgtsport (uygh)》之銘言：
: x，y，z為複數，且|x|=|y|=|z|=1,若x+y+z=0 證明x^2+y^2+z^2=0
: 請大大們指數一下，謝謝
當然那個 120 度是無論如何都會碰到的，
但我們還是可以隱藏起來，至少表面上不要直接看到他。
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先從 |x| = 1 知道 x = 1/x，y 和 z 同理。
然後算 |x+y|=|-z|=1 => 2 + x/y + y/x = 1 => x/y + y/x = -1
另 y/z = y/(-x-y) = 1/(-x/y-1) = 1/(y/x) = x/y
也就是說 x/y 和 y/x 是 t^2 + t + 1 = 0 的兩根。
同理，y/z 和 z/y 也是。
如果 x/y = z/y => x = z => y = -2x => |y| = 2 →←
所以 x/y = y/z = z/x
=> x^2 = yz, y^2 = zx, z^2 = xy
=> x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx
但 x+y+z=0 => x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = 0
所以 3(x^2 + y^2 + z^2) = 0 => x^2 + y^2 + z^2 = 0
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.160.12.101 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1645214110.A.426.html
推
02/19 10:40,
3年前
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02/19 10:40, 1F
推
02/19 10:47,
3年前
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02/19 10:47, 2F
喔，對吔。我在幹麼……
※ 編輯: Vulpix (1.160.12.101 臺灣), 02/19/2022 18:32:24