[中學] 國中幾何證明要寫到多詳細？

看板Math作者 (noname)時間4年前 (2021/11/10 14:47), 4年前編輯推噓5(5推 0噓 19→)
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下面的題目是今年國中會考補考數學科的一題非選題， 其中的彩色圖形是我自己加上去的，以方便討論 https://i.imgur.com/GEDeWwa.png
第(1)小題的解題關鍵是分針一格6度， 4個頂點轉動的角分別為45、135、225、315度， 都不是6的倍數，所以不會有分針刻度在正方形的頂點上。 證明重點應該是說明： 被2對角線以及2條對邊中點連線(紅色線段)分割出的8個角度相同， 所以角1~8都是45度。 這是很直觀的性質，基於正方形各邊地位相等及對稱性等性質， 有很多想法可以得到45度的結論， 比如正方形被2紅色線段分割成4個全等小正方形， 且原對角線也是4個全等小正方形的對角線， 正方形的對角線平分內角，所以角1~8都是90/2=45度。 但這是手寫題，像上面這樣不嚴謹的寫法感覺會被扣分 我想問這個證明要寫到多詳細才不會被扣分？ 以第(1)小題為例，下面我試著寫出一個我認為夠詳細的證明的主流程： 1. 證明正方形對邊中點連線平行邊長線段 2. 基於平行線截等比例，可推出正方形對邊中點連線通過對角線中點O 3. 基於同位角相等可知 中心O到邊長中點連線段⊥邊長 4. 正方形對角線等長，且互相垂直平分，將正方形分割成4個等腰直角三角形 5. 等腰直角三角形頂點到底邊的垂直線會平分頂角，所以角1~8都是90/2=45度。 上面這個證法已經直接套用了一些性質，但若要完整寫出來，整體還是覺得非常麻煩， 想請教各位，以盡量不被扣分為原則， 這題的證明可以簡化到什麼程度？(不一定是我上面這個證法) 關鍵點應該是說哪些直觀、顯而易見的性質，可以直接套用，不用再先證明一次 雖然各位不是閱卷老師，不過想聽聽別人的看法，謝謝 附帶再請教2個問題： Q2. 若圖形有對稱性，可以直接說圖形有對稱性，並拿來作推理證明的基礎嗎？ Q3. 正多邊形從各邊或各角看進去，情況、地位相等(計算時很有用的一個特性)， 這個特性有沒有什麼簡潔名稱？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 42.76.251.188 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1636526879.A.3DD.html
推
11/10 20:30, 4年前 , 1F
在描述正方形的時候不會用甚麼"各邊地位相等"這種方
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11/10 20:31, 4年前 , 2F
式, 正方形的定義就是四邊邊長相等且四角角度相等的
11/10 20:31, 2F
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11/10 20:32, 4年前 , 3F
四邊形, 差別在於"地位"這不是well-defined的名詞
11/10 20:32, 3F
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11/10 20:33, 4年前 , 4F
邊, 長度,角, 角度這些名詞才是well-defined的東西
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11/10 20:34, 4年前 , 5F
寫證明要寫到嚴謹就是從定義出發, 但當然這樣會寫到
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11/10 20:35, 4年前 , 6F
很繁瑣, 所以不論是甚麼程度的數學問題證明, 都一定
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11/10 20:36, 4年前 , 7F
會為了可讀性而把一些重點結論拉出來歸納成"引理"或
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11/10 20:36, 4年前 , 8F
引用其他定理說明
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11/10 20:37, 4年前 , 9F
而國中數學其實就是只要課本有教過的基本上都能引用
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11/10 20:39, 4年前 , 10F
我自己的經驗是以前國中的時候曾經拿三心(內外重)以
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11/10 20:39, 4年前 , 11F
外的垂心和旁心來證過題目, 雖然是被老師挑剔了一下
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11/10 20:39, 4年前 , 12F
但整個證明還是正確的最後就還是有拿到分
11/10 20:39, 12F
那我重新寫一個證法，看您覺得是否會被扣分？ (1) 連接對角線交點O和正方形邊上的中點， (直接引用) "等腰三角形 頂角頂點 到 底邊中點 連線會平分頂角" 所以角1~8都是90/2=45度 另外想再請教，點對稱、線對稱算是有well-defined的吧？ 若有，在這個基礎上，您覺得能否像下面這樣證 (2) 正方形含2條對角線是一個線對稱圖形，對稱軸為2對邊中點連線 所以角1~8都是90/2=45度
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11/10 21:58, 4年前 , 13F
利用對角線垂直平分加上SSS來說明會不會比較方便？
11/10 21:58, 13F
感謝回覆，這個證法比我原文中的簡潔多了
推
11/11 23:46, 4年前 , 14F
你後來寫的，應該是可以，因為不用特別再說明，為何
11/11 23:46, 14F
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11/11 23:46, 4年前 , 15F
會平分頂角
11/11 23:46, 15F
那請問您覺得重新寫的證明 (2) 是否有問題？ ※ 編輯: haveknown (42.76.251.188 臺灣), 11/12/2021 00:02:36
推
11/12 01:01, 4年前 , 16F
2紅色線段分割成小正方形那個不用寫 因為你要的點在
11/12 01:01, 16F
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11/12 01:01, 4年前 , 17F
大正方形上 用正方形對角線性質就夠了
11/12 01:01, 17F
推
11/12 01:05, 4年前 , 18F
正方形對角線過重心應該可以直接用吧?
11/12 01:05, 18F
推
11/12 01:07, 4年前 , 19F
關於你給的（2）我覺得可以直接描述正方形的對角線
11/12 01:07, 19F
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11/12 01:07, 4年前 , 20F
就好
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11/12 01:09, 4年前 , 21F
你講對稱軸為2對邊中點連線有機會扣分 因為對稱軸還
11/12 01:09, 21F
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11/12 01:09, 4年前 , 22F
有包含2條對角線
11/12 01:09, 22F
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11/12 01:11, 4年前 , 23F
所以你乾脆直接講正方形的對角線性質就好，過中點、
11/12 01:11, 23F
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11/12 01:11, 4年前 , 24F
切45度角都是正方形對角線的性質
11/12 01:11, 24F
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