[微方] 一階ODE求特解（訊號類題目）

看板Math作者 (yh1007)時間3年前 (2021/04/13 00:52), 3年前編輯推噓8(8推 0噓 33→)
留言41則, 3人參與, 3年前最新討論串1/1
題目 y[n]-1/9y[n-2] = x[n-1] Initial condition y[-1]= 1, y[-2] =0, x[n]=u[n] 我先解出 y(h)[n]=a(1/3)^n+b(-1/3)^n 然後再用 y(p)[n]=k (for n>=0) 求特解得 y(p)[n]=9/8 (for n>=0) 然後再寫 y(c)[n]={y(h)+y(p)}u[n] 接著利用題目及初始值推出以下來解y(c)的a和b y[n]=x[n-1]+1/9y[n-2] y[0]=x[-1]+1/9y[-2] ~~~e y[1]=x[0]+1/9y[-1] ~~~f y[2]=x[1]+1/9y[0 ] ~~~g 接著我應該用 (1)ef來解ab 答y(c)[n]={y(h)+y(p)}u[n] (2)fg來解ab 答y(c)[n]={y(h)+y(p)}u[n-1] 哪一個才是對的 糾結的點在於特解必須要符合n>=0 y的complete解也是 但因為題目有一項x[n-1］ 因此在帶e式的時候會出現n是小於0的x[-1] 裡要直接把他當作initial condition（u[-1]=0 ）來看就好還是要用n大於0的fg式來解 （碰巧這題的答案不影響 因為在0的時候值為0，但在別題有差） 感謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.25.119.63 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1618246322.A.CB0.html ※ 編輯: ted010233 (163.25.119.63 臺灣), 04/13/2021 00:55:30 ※ 編輯: ted010233 (163.25.119.63 臺灣), 04/13/2021 00:56:01 ※ 編輯: ted010233 (101.12.38.195 臺灣), 04/13/2021 02:44:43
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04/13 05:28, 3年前 , 1F
我看不懂你的符號 []是微分? 那你初始條件是不是要
04/13 05:28, 1F
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04/13 05:29, 3年前 , 2F
給定點?
04/13 05:29, 2F
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04/13 09:15, 3年前 , 3F
這是差分吧？
04/13 09:15, 3F
對 忘記備註了...
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04/13 09:15, 3年前 , 4F
離散訊號？
04/13 09:15, 4F
推
04/13 09:37, 3年前 , 5F
本來也看不懂，查了一下是差分方程。
04/13 09:37, 5F
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04/13 09:38, 3年前 , 6F
04/13 09:38, 6F
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04/13 09:38, 3年前 , 7F
差分方程、遞迴數列，微分方程都可以用特徵方程式
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04/13 09:39, 3年前 , 8F
來解，如果結構夠好的話
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04/13 09:39, 3年前 , 9F
y[n]-1/9y[n-2] = x[n-1] 的特徵方程為x^2-1/9=0
04/13 09:39, 9F
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04/13 09:40, 3年前 , 10F
x=+-1/3
04/13 09:40, 10F
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04/13 09:41, 3年前 , 11F
令x[n-1]=k(在少數點有例外值，剔除就好)為constant
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04/13 09:42, 3年前 , 12F
即找尋a_n-1/9a_(n-2)=k遞迴數列之解
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04/13 09:43, 3年前 , 13F
公式解為a_n=a*(1/3)^n+b*(-1/3)^n+alpha alpha常數
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04/13 09:45, 3年前 , 14F
令a_n-alpha=1/9(a_n-2-alpha)
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04/13 09:46, 3年前 , 15F
alpha=9/8*k=9/8x[n-1]
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04/13 09:47, 3年前 , 16F
x[n]=u[n-1] u為unit step function
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推
04/13 09:50, 3年前 , 17F
根據zill 的ode課本(台大電機微分方程用書)裡unit
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04/13 09:50, 3年前 , 18F
step fuction定義
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推
04/13 09:54, 3年前 , 19F
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04/13 09:55, 3年前 , 20F
x[-1]=0 x[0]=1 x[1]=1.....x[n]=1 for n>=0
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04/13 09:56, 3年前 , 21F
故你的f式 g式沒問題 求得的解為公式解
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04/13 09:57, 3年前 , 22F
但e式為特殊值，要另外寫
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04/13 09:58, 3年前 , 23F
故你的公式解滿足y_n=a*(1/3)^n+b*(-1/3)^n+alpha
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推
04/13 09:58, 3年前 , 24F
可以先試試看令一個新的函數g[n]=y[n+1]然後解g[n]
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04/13 09:58, 3年前 , 25F
應該可以避開初始值問題
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04/13 09:58, 3年前 , 26F
n>=1 但n=0時 y[0]用你的initial去帶，不合公式解
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04/13 09:59, 3年前 , 27F
寫解答時公式姐和特殊解並列一起寫
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04/13 10:03, 3年前 , 28F
不過這題我寫出來以後答案有四個區塊，我想應該沒
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04/13 10:03, 3年前 , 29F
辦法直接解差分方程
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04/13 10:04, 3年前 , 30F
04/13 10:04, 30F
※ 編輯: ted010233 (101.12.38.195 臺灣), 04/13/2021 10:09:14 ※ 編輯: ted010233 (101.12.38.195 臺灣), 04/13/2021 10:09:52
推
04/13 11:31, 3年前 , 31F
公式解n代enen或odd剛好會消成1/9的樣子，所以應該
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04/13 11:32, 3年前 , 32F
是一樣的。
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04/14 01:27, 3年前 , 33F
c大可以傳一下計算過程嗎～想了解
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推
04/14 10:30, 3年前 , 34F
https://imgur.com/a/GM8Hajn 奇偶要分開討論
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推
04/14 10:32, 3年前 , 35F
我所描述的方法在高中數學競賽遞迴數列的章節都有
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04/14 10:33, 3年前 , 36F
細節就是要自己做檢查 奇偶還是可以用indicator
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04/14 10:33, 3年前 , 37F
function 或其他特殊函數做結合，不過那沒意義
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推
04/14 12:10, 3年前 , 38F
n<0是也是可以做的也是類似，只是我做數列通常是大
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04/14 12:11, 3年前 , 39F
於0，initial condition看題目是n>0還是也有n<0的邊
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04/14 12:11, 3年前 , 40F
界
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04/14 15:18, 3年前 , 41F
了解感謝
04/14 15:18, 41F
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