※ 引述《ACGfans (ACGfans)》之銘言：
: 一時想不到要怎麼算
: 所以直接貼上來問大家
: 連續投擲一枚公正硬幣，直到最近連續五次的結果中，有四次以上是正面時結束
: 請問需要的投擲次數期望值為多少？
: 補充一下 如果一開始連續四次都正面也算結束
: 或是如果要投到第五次的算式會比較簡潔的話那就當作那樣
: 只是想了解解題的過程
: 再麻煩解說一下了 謝謝
原本想到的是以最近四次結果當狀態的馬可夫鏈, 但 16 個狀態不能算簡潔
然後想到要結束這最近五次裡只能有一次反面
那似乎可以用投出反面當斷點做狀態
考慮在這個反面之後連出正面要多少個才能結束做分類, 這樣就只要四類
把轉移期望值關係寫出來就是
E4 = (1/2)(E4+1) + (1/4)(E3+2) + (1/8)(E2+3) + (1/16)(E1+4) + (1/16)(4)
E3 = (1/2)(E4+1) + (1/4)(E3+2) + (1/8)(E2+3) + (1/8)(3)
E2 = (1/2)(E4+1) + (1/4)(E3+2) + (1/4)(2)
E1 = (1/2)(E4+1) + (1/2)(1)
解釋一下 E4 這一條 (其他類推):
在還要連出四正面的狀況時 (例如一開始或在連二反面之後)
1/2 投出反面, 仍然還要再連四正面, 計 E4+1 投
1/4 投出先正後反, 這時只要再連三正面即可, 計 E3+2 投
1/8 投出正正反, 只要再連二正面, 計 E2+3 投
1/16 投出正正正反, 只要再一個正面, 計 E1+4 投
1/16 投出正正正正, 到此結束, 計 4 投
所以期望值 E4 就是這樣加起來
這個聯立方程看起來有點整齊但好像沒有好算一點的解法, 我直接硬解的結果是
E4 = 2122/137 ←這是你的所求, 約是 15.489
E3 = 2030/137
E2 = 1774/137
E1 = 1198/137
分母這麼囧是因為係數行列式值是 137/1024, 我猜應該很難不正面衝撞它 @@
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類似的作法應該只能推廣到最近 N 投要 N-1 正面
不然狀態沒辦法切得這麼乾淨
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有人喜歡邊玩遊戲邊上逼；
也有人喜歡邊聽歌邊打字。
但是，我有個請求，
選字的時候請專心好嗎？
-- 改編自「古 火田 任三郎」之開場白
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推
04/03 19:59,
3年前
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