[中學]高中數學競賽題

看板Math作者 (adamchi)時間4年前 (2021/03/05 00:11), 編輯推噓6(6推 0噓 29→)
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1.設n是使得149^n-2^n可以被3^3*5^5*7^7整除的最小正整數. 試問n的正因數的個數為何? 答:270 2.設點D在三角形ABC的線段BC上使得線段AD為角BAC的角平分線, 線段AD的中垂線分別交角ABC與角ACB角平分線於E.F兩點.已知 線段AB=4,線段BC=5,線段CA=6,三角形AEF的面積為(m*n^(1/2))/p, 其中m與p為互質的正整數,且正整數n不能被任何質數的平方整除. 試問m+n+p之值為何? 答:36 3.設P(x)是一個係數為複數的二次多項式,且x^2的係數為1.已知P(P(x))=0 有四個相異解x=3,4,a及b,試問(a+b)^2所有可能值的總和為何? 答:85 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.42.197.122 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1614874279.A.8E8.html
推
03/05 21:16, 4年前 , 1F
第一題用ind_r a函數和wolfram可以算出來
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03/05 21:18, 4年前 , 2F
n=3^2*2^2*5^4*7^5
03/05 21:18, 2F
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03/05 21:19, 4年前 , 3F
正因數個數=(2+1)*(2+1)*(4+1)*(5+1)
03/05 21:19, 3F
推
03/05 22:48, 4年前 , 4F
149^n==2^n mod3^3*5^5*7^7拆解=>149^n==2^n mod3^3
03/05 22:48, 4F
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03/05 22:49, 4年前 , 5F
149^n==2^n mod5^5 149^n==2^n mod7^7 n為三式的
03/05 22:49, 5F
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03/05 22:49, 4年前 , 6F
最小公倍數
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03/05 22:49, 4年前 , 7F
3的primitive root查表得2 5的primitive root查表
03/05 22:49, 7F
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03/05 22:50, 4年前 , 8F
得2 7的primitive root得2 149^n==2^n mod3^3取ind
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03/05 22:50, 4年前 , 9F
更正7的primitive root=3
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03/05 22:51, 4年前 , 10F
ind_2 149^n==ind_2 2^n mod phi(3^3) phi為歐拉函
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03/05 22:52, 4年前 , 11F
數
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03/05 22:53, 4年前 , 12F
n*ind_2 149==n*ind_2 2 mod phi(3^3)
03/05 22:53, 12F
推
03/05 22:55, 4年前 , 13F
ind_2 149 mod phi 3^3等價於 least n使2^n==149mod
03/05 22:55, 13F
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03/05 22:57, 4年前 , 14F
3^3 要計算2^n==149mod 3^3用 wolfram函數
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03/05 22:59, 4年前 , 15F
MultiplicativeOrder[2,3^3(改27),149]=17
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03/05 23:00, 4年前 , 16F
此式化為n*17==n*1 因ind_2 2=1 mod phi(3^3)
03/05 23:00, 16F
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03/05 23:01, 4年前 , 17F
(3^3-3^2)|(17n-n) 得18|16n n=9=3^2 同理
03/05 23:01, 17F
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03/05 23:02, 4年前 , 18F
149^n==2^n mod5^5推得n=2^2*5^4 149^n==2^n mod7^7
03/05 23:02, 18F
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03/05 23:03, 4年前 , 19F
推得 n=7^5 故得解
03/05 23:03, 19F
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03/05 23:04, 4年前 , 20F
這個方法要弄懂ind_r a=n mod phi(m)等價於
03/05 23:04, 20F
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03/05 23:05, 4年前 , 21F
a^x==n mod m ，r是m的primitive root 然後看懂
03/05 23:05, 21F
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03/05 23:05, 4年前 , 22F
wolfram函數
03/05 23:05, 22F
推
03/06 10:02, 4年前 , 23F
更正 ind_r a=n mod phi(m)等價於r^n==a mod m
03/06 10:02, 23F
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03/06 10:44, 4年前 , 24F
wolfram的工作其實可以手算替代 雖然也很難算
03/06 10:44, 24F
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03/06 10:45, 4年前 , 25F
以2^n==149mod 3^3 來說 n取phi(3^3)的因數 ，從大
03/06 10:45, 25F
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03/06 10:46, 4年前 , 26F
到小檢驗 phi3^3 =2*3^2 列因數 2*3^2>3^2>2*3>3>2
03/06 10:46, 26F
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03/06 10:48, 4年前 , 27F
>1 檢驗 149^n==2^n mod3^3
03/06 10:48, 27F
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03/06 10:49, 4年前 , 28F
5^5 用 phi5^5=4*5^4 >5^4 >4*5^3>5^3>4*5^2>5^2>
03/06 10:49, 28F
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03/06 10:50, 4年前 , 29F
4*5>5>4>1 大概檢查道第二或三個就結束了
03/06 10:50, 29F
推
03/06 10:54, 4年前 , 30F
基本上是初等數論 index， order，primitive root
03/06 10:54, 30F
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03/06 10:55, 4年前 , 31F
改的，有習題 比你的題目數字小很多就是了
03/06 10:55, 31F
推
03/06 12:27, 4年前 , 32F
第二題幾何 用解析法硬解 把abc點算出座標 算出
03/06 12:27, 32F
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03/06 12:28, 4年前 , 33F
直線方程AD
03/06 12:28, 33F
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03/06 12:29, 4年前 , 34F
再列出線段AD的中垂線方程角ABC與角ACB角平分線方程
03/06 12:29, 34F
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03/06 12:30, 4年前 , 35F
得E和F座標，再用三角形座標面積行列式算出AEF面積
03/06 12:30, 35F
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