[代數] 一題證明題

看板Math作者 (嘎嘎嘎嘎嘎)時間5年前 (2021/02/19 12:20), 編輯推噓7(7推 0噓 26→)
留言33則, 5人參與, 5年前最新討論串1/1
剛剛在算數學自己想了一道題目 感覺是對的，但是又證明不出來 來板上問看看有沒有高手有證明的想法？ 題目： 有六個實數 a, b, c, A, B, C >= 0 而且 a + b + c = A + B + C > 0 試證明 a^a * b^b * c^c >= A^a * B^b * C^c 永遠為真 若不是，請舉出反例 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 125.227.45.150 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1613708410.A.634.html
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02/19 13:43, 5年前 , 1F
如果兩個變數時的情況是對的 那可以用歸納法證明
02/19 13:43, 1F
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02/19 13:43, 5年前 , 2F
三個變數(也就是你寫的)也是對的
02/19 13:43, 2F
推
02/19 18:46, 5年前 , 3F
我猜 1^1 * 3^3 < (0.1)^1 * (3.9)^3
02/19 18:46, 3F
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02/19 18:47, 5年前 , 4F
欸欸 刪除我上一樓推文好了 太白痴了
02/19 18:47, 4F
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02/19 20:05, 5年前 , 5F
我找到a or b or c一者為0，A B C全不為0 是一個反
02/19 20:05, 5F
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02/19 20:06, 5年前 , 6F
例 如果承認0^0的話 如果假設abc ABC全不為0 可證
02/19 20:06, 6F
推
02/19 20:09, 5年前 , 7F
這一個KKT的題目，用WOLFRAM可解 限制式
02/19 20:09, 7F
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02/19 20:09, 5年前 , 8F
a, b, c, A, B, C >= 0
02/19 20:09, 8F
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02/19 20:09, 5年前 , 9F
a + b + c = A + B + C > 0
02/19 20:09, 9F
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02/19 20:10, 5年前 , 10F
求證 a^a * b^b * c^c -A^a * B^b * C^c極小值大於
02/19 20:10, 10F
推
02/19 20:12, 5年前 , 11F
0 或a^a * b^b * c^c /A^a * B^b * C^c>=1
02/19 20:12, 11F
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02/19 20:13, 5年前 , 12F
KKT列出六個變數的GRADIENT 大概可知皆不為0
02/19 20:13, 12F
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02/19 20:14, 5年前 , 13F
所以討論邊界，邊界在a b c趨近0的地方
02/19 20:14, 13F
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02/19 20:15, 5年前 , 14F
所以a^a * b^b * c^c /A^a * B^b * C^c->1
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02/19 20:16, 5年前 , 15F
先暫時將A B C視為常數，將f對
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02/19 20:16, 5年前 , 16F
a^a * b^b * c^c /A^a * B^b * C^c 分別對 a b c偏
02/19 20:16, 16F
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02/19 20:17, 5年前 , 17F
微，可知a^a * b^b * c^c /A^a * B^b * C^c
02/19 20:17, 17F
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02/19 20:18, 5年前 , 18F
=(a/A)^a*(b/B)^b*(c/C)^c
02/19 20:18, 18F
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02/19 20:19, 5年前 , 19F
a為變數 A 為常數(a/A)^a為形如 (x/costant)^x
02/19 20:19, 19F
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02/19 20:20, 5年前 , 20F
遞增 原式為三個遞增連乘 故為遞增 所以最小值為1
02/19 20:20, 20F
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02/19 20:21, 5年前 , 21F
反之 若設A B C 為變數 a b c 為常數 可知為三個遞
02/19 20:21, 21F
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02/19 20:22, 5年前 , 22F
減相乘 可以得到如上相同的結果 雖設abc或ABC為常數
02/19 20:22, 22F
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02/19 20:23, 5年前 , 23F
討論之後再讓ABC或abc 任意變化即可
02/19 20:23, 23F
推
02/19 20:35, 5年前 , 24F
更正 這證明有誤 應該不行 (x/a)^x 在0到1之間非遞
02/19 20:35, 24F
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02/19 20:35, 5年前 , 25F
增
02/19 20:35, 25F
推
02/19 20:43, 5年前 , 26F
喔喔 將f取對數 則logf可計算海森矩陣 為一正定矩陣
02/19 20:43, 26F
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02/19 20:45, 5年前 , 27F
可證最小值為1 那應該可以證了了
02/19 20:45, 27F
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02/19 20:45, 5年前 , 28F
取對數f是關鍵才能算海森/黑賽矩陣
02/19 20:45, 28F
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02/19 21:03, 5年前 , 29F
感謝各位大大分享證明的方向！！
02/19 21:03, 29F
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02/19 21:03, 5年前 , 30F
完全沒聽過海森矩陣跟黑賽矩陣...
02/19 21:03, 30F
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02/19 21:03, 5年前 , 31F
我先去了解這兩個東東，再來證明看看
02/19 21:03, 31F
推
02/19 21:16, 5年前 , 32F
海森 黑賽 是翻譯問題 海森=黑賽=hessian matrix
02/19 21:16, 32F
推
02/19 21:42, 5年前 , 33F
黑斯、赫士都再稍微好一點XD
02/19 21:42, 33F
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