[其他] 選擇公理為什麼需要證明？

看板Math作者 (達)時間4年前 (2021/01/08 17:54), 4年前編輯推噓9(9推 0噓 19→)
留言28則, 8人參與, 4年前最新討論串1/1
說到這裏，大家可能已經在抱怨：這不是很明顯嗎？如果你有幾個籃子，每籃內都至少有 一隻雞蛋，我們當然可以在每一個籃子抽一隻雞蛋吧！但是數學中一切命題都需要證明， 這個也不應例外。 ... 先說前者，「任意」這個字用於集合論之類的數學基礎時是十分含糊的，數學上不存在一 個明顯的函數f(X)，可以在任何一個非空集合X中準確地抽出一個元素。 http://mathdb.blogspot.com/2008/03/blog-post_20.html 看了幾篇「選擇公理」的文章 還是不懂這個公理為什麼需要證明 求解？ 公理 維基百科 在傳統邏輯中，公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。因此，其真實性被 視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關）事實的起點。當不斷要求證明 時，因果關係畢竟不能無限地追溯，而需停止於無需證明的公理。通常公理都很簡單，且 符合直覺，如「a+b=b+a」。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 107.161.88.23 (美國) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1610099644.A.282.html
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是因為無法以其他公理證明所以才只能以公理的形式
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接受它的存在 因為實在太好用了
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可是好像又有一些爭議 其中如下： 不過，這個爭論依然未完，因為對於這條公理不只是接納和不接納的問題，如果放棄這條 公理，有很多美好且乎合“常理”的結果會同時被放棄；但它實際上又與很多“常理”大 不協調。 其中一個為人熟識的不合乎常理的結果是“巴拿赫─塔斯基悖論”（Banach-Tarski Paradox），或稱“分球問題”。這個悖論可以說是違反了物理學定律，因為這個悖論說 可以把一個單位球體（半徑為1）分成有限個點集（最少可分成五份），然後通過一些剛 體運動，即旋轉和平移，再重新組合，不過在組合後，竟然成為兩個單位球體，也即是體 積增加了一倍，而這個悖論的證明是必須利用到“選擇公理”的。也就是說，如果我們選 擇接納“選擇公理”，則“巴拿赫─塔斯基悖論”便是一條定理，但現實中有這個可能嗎 ？ https://bityl.co/57pv ※ 編輯: dharma (107.161.88.23 美國), 01/08/2021 18:31:01
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這不算爭議啊 那些就是看起來不合理卻是正確的而已
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反過來說就是你覺得選擇公理不該接納，那也不會有這
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個被俗稱是悖論但實際上是定理的東西而已
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重點是那個分球問題到底對不對，不是我們現實生活有
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辦法去判定的，因為分球的方法本身就不可能現實實現
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所以無從去說應該要對還是不對
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公理沒有對不對，只有合不合用。這裡的問題應該是我
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們不知道選擇公理什麼時候可能不合用，所以拿它來證
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明定理的數學家會怕。
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推
01/09 16:25, 4年前 , 12F
Banach-Tarski 沒有違反物理學定律啊
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推
01/09 16:34, 4年前 , 13F
嚴格說起來「體積變兩倍是一個錯覺」
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因為切出來的碎片是無法定義體積的，所以體積的可加
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推
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性在此被破壞了。
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選擇公理沒那麼可怕，就跟基改食品標示一樣
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推
01/10 14:14, 4年前 , 17F
我還沒看Banach-Tarski定理的證明 但我在猜想其根本
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推
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的道理是否和以下論述類似？考慮兩個interval集合
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[0,1]和[0,2] 這兩個集合的元素個數(cardinality)
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是一樣多的 因為存在一對一的函數從[0,1]到[0,2]
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比如f(x)=2x 因此我們可以把線段[0,1]變換成[0,2]
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01/10 14:19, 4年前 , 22F
但是以長度來看 [0,2]的長度自然為[0,1]的兩倍
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01/10 14:19, 4年前 , 23F
也就是說從集合的角度來看 [0,1]和[0,2]一樣大
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01/10 14:20, 4年前 , 24F
但以長度來看它們不相同 這和分球問題的道理類似嗎?
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推
01/10 15:28, 4年前 , 25F
集合間可以bijective 是否就代表measure一定要相同?
01/10 15:28, 25F
推
01/10 15:43, 4年前 , 26F
Banach-Tarski 有要求isometry
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推
01/11 02:26, 4年前 , 27F
我記得分完的球都沒有 measure。
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推
01/12 13:16, 4年前 , 28F
回樓上L大: 分球定理只有旋轉平移 不只是bijection
01/12 13:16, 28F
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