[代數] 包含所有元素之最大公因數在內的集合

看板Math作者 (Freebug)時間5年前 (2020/12/10 06:18), 編輯推噓1(108)
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請問各位: 有沒有一個專有名詞可以描述「包含所有元素之最大公因數在內的集合」? 如果有的話,該集合被稱作什麼? 例如:「{6, 12, 24, 144}」 如果有一個集合A不只包含其所有元素之最大公因數在內,A的所有元素之最大公因數在小 於或等於A的最大元素與大於或等於A的最小元素(也就是A的所有元素之最大公因數)之 間的所有整數倍組合成的集合與A相等,那麼有沒有一個專有名詞可以形容A這個集合? 若有的話,這個集合A又該被稱作什麼呢? 例如:「{6, 12, 18, 24, 30, 36}」 此外,上述集合A的母集(我們就假設為B)有沒有一個專有名詞可以形容?若有的話,集 合B又該怎麼被稱呼? 例如:A = {6, 12, 18},B = {3, 6, 8, 11, 12, 18} 像這些集合的「所有元素之最大公因數」(以上述的所有例子而言就是6)有沒有一個專 有名詞可以形容?若有的話,那又被稱作什麼? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 110.26.229.93 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1607552323.A.6E4.html

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二元運算的封閉性?將二元素的最大公因數取值視為二
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元運算的話
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B不具封閉性,因1=gcd(3,11)不為B的元素
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設 (n) = { kn : k in Z }, 所有 n 整數倍的集合
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(n,m) = { kn+lm : k, l in Z}, 以此類推
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如果 d 是 a, b 的最大公因數 則 (d) = (a,b)
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因此集合 A 符合你說的條件 若且唯若
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存在 d in A 使得 A 是 (d) 的子集
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Such (d) is called an ideal(理想) of ring(環) Z
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