Re: [其他] 離散兩題
※ 引述《LiquidTLO (俊偉)》之銘言：
: 題目: https://imgur.com/a/l1PMrER
: 第一題沒什想法
: 第二題我只用chebyshev導出α > 1/2時機率是1
: https://imgur.com/a/4ozRw9D
: α=1/2時，我知道(X_k-μ)/σ√n 是N(0,1)
: 然後就卡住了
: 不知道怎導α = 1/2 和 α < 1/2時的機率
α=1/2，直接使用 CLT 即可。
α<1/2，也可以透過 CLT 來做：
先隨便指定一個正數 ε，然後考慮比 ε^(1/(1/2-α)) 大的 n。
P(|Σ(X_k-μ)/σn^α|≦1)
＝P(|Σ(X_k-μ)/σ√n|≦n^(α-1/2))
≦P(|Σ(X_k-μ)/σ√n|≦ε)
→Φ(ε)-Φ(-ε) = erf(ε/√2) as n→∞ by CLT
所以 limsup P(|Σ(X_k-μ)/σn^α|≦1) ≦ 任何一個 erf(ε/√2)
也就是 limsup P(|Σ(X_k-μ)/σn^α|≦1) = 0
而 liminf 也是 0，所以想算的那個極限就是 0。
至於第一題，答案是 N(0,k(k+1)(2k+1)/6)。
推理過程用到：
1. X_i/√n → 一個 N(0,i^2)，by CLT。
2. 常態分佈的獨立隨機變數相加會得到一個常態分佈的隨機變數。
平均數、變異數都是那些獨立隨機變數的和。
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