Re: [其他] TC解 (7)(8)(9) 複合題型 | 平面向量 | 三角函數 (Sol)
:
: Problem 9
: 如圖
: https://i.imgur.com/p9XRHwx.jp
Solution to Problem 7
(1) False
直接除，或是判斷例如9的倍數
感覺出成 True 比較好？
(2) True
Fibonacci Sequence
高中生如果沒看過的話，要證明不是那麼容易，以下姑且提供一個暴力方法
設 F(n) = 1/√5 (x^n - y^n), 其中 x = (1+√5)/2, y = -2/(1+√5)
則 F(n) - (x+y) F(n-1)
= 1/√5 (x^n - y^n - x^n - y x^(n-1) + y^n + x y^(n-1))
= 1/√5 xy(x^(n-2) - y^(n-2)) = xy F(n-2)
代入 x+y = xy = 1 可得
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
現由純計算可得 F(0) = 0, F(1) = 1
因此可輕易得知 F(n) 皆為正整數，F(2020) 也不例外
如何由遞迴式得到一般式？
個人推薦直接學線性代數解法，一本萬利
(3) True
Catalan Number
雖然有這個專有名詞，個人出題也是因為想到這個，但可以直接算
這題的數字有兩個表示法
C(2020,1010) / 1011 = C(2021,1010) / 2021
由於 1011 和 2021 互質，因此 C(2020,1010) 是 1011 的倍數
所以這個數字必然是整數
p.s. 也可以用 1011 = 3 * 337
再算 C(2020,1010) 有多少 3 和 337，只是我不想算這個XD
(4) False
明顯出自 Wilson's Theorem
如果 2021 是質數，那證明就靠背了XD
可惜 2021 = 43 * 47 所以右上角的 2020! 就是 2021 的倍數了
p.s. Fermat's Little Theorem 是一樣的原理，所以我沒出
(5) True
其實 tan 或 cot 的差角公式被搬出來的時候
我嚇了一大跳XD 也是，當成斜率也能解
可惜那個公式我不太會orz 我用的是其他方法
[ r ] = [ √3/2 1/2 ] [ 1 ]
[ r a_n ] [ -1/2 √3/2 ] [ a_(n-1) ]
因此 (1, a_(n-1)) 所在的直線(斜率為 a_(n-1))
順時針轉 30 度即為 (1, a_n) 所在的直線(斜率為 a_n)
可以看出轉 6 次之後會重複
其中轉 3 次時會轉到和原直線垂直，即斜率為 2020 的直線
恰好 2020-1 除以 6 的餘數是 3，因此 a_2020 = 2020 是正整數
p.s. 我原本是用 linear fractional transform 的
打詳解的時候才想到，對吼這個高中沒教(?)
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Solution to Problem 8
本題關鍵引理如下：
(Lem) 設平面向量 u, v 任意實數 a, b
若 w = au + bv，則稱 w 為 u, v 的線性組合
(1) u, v 都是 0，則 w 只能是 0
(2) u, v 平行且不都是 0，則所有 w 在一條直線上(有 u, v 的那一條)
(3) u, v 不平行，則 w 可以是平面上任一點
(pf) (1) 顯然 (2) 炸參數式 (3) 由克拉瑪公式解得證
因此在本題中
(1) 若 OA = OB = 0, 則 OC = OD = OE = 0
(2) 若 OA 平行 OB, 則 OC, OD, OE 也全部平行 OA 和 OB
(3) 若 OA 和 OB 不平行，設坐標點 (x, y) 為 xOA + yOB，則
C 為 xy = 1 在第一象限的點
D 為 x^2 + y^2 = 1 上的點
E 為 x + y = 0 上的點
每一個選項除非有明顯的直接解
不然分成這三個 case 來看會比較保險，否則就會出事(-1000P)
(1) True
DE = OE - OD, 可直接用 OA, OB 表示
(2) False
有沒有可能 OA 平行 CD，但 BE 不平行 OA？
畫個圖就知道了，當然有
(3) True
AC = -CE + AE
(4) True
由於 AB 直線即為 x + y = 1, 所以 OE 平行 AB
不，其實根本就 OE = -AB
因此 OE = -AB + 0DE 就解決了
(5) False
有沒有可能 OE 平行 OC，但 AD 不平行 OC？
有，但看圖不容易看出來，因為唯一的可能是 OE = 0
嗯，如果把 log_2 改成 log_4，好像不錯(欸)
當初是希望 (4) False 的，結果因為莫名的原因變 True 了
(5) 當初明明有想到反例，過一陣子之後重解就忘了qw q
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Solution to Problem 9
LPH66 已經在原篇底下留言 PO 了詳解，即底下連結
https://tinyurl.com/ybtobm7o
答案是全部 (1)(2)(3)(4)(5)
因此我來個一圖流吧ow o
https://i.imgur.com/WXuch4o.jpg
由內至外分別是 (1)(3)(4)(5)(2)
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好幾天沒打詳解，要是一篇一篇打就洗板了
只要這篇沒過 1000P 應該就不會變少吧(?)
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Excel...一路領先是這個意思啊(汗
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幹你們每個人都知道是卡塔蘭數 我很晚才知道有這東西qw q
我原本知道的是另一個東西：
若 gcd(a,b) = 1, 則 C(a+b, b) / (a+b)
可以表示成從 (0,0) 走到 (a,b)
但除了起點終點，不越過直線 ay = bx 的方法數，因此必須是整數
卡塔蘭數是 a = n+1, b = n 的特例
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對吼難怪 我以為是分子領先分母(?)
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05/24 21:33,
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真假XD 噢天啊valuation(眼神死
※ 編輯: TimcApple (49.216.162.130 臺灣), 05/24/2020 21:36:30