[分析] Royden 弱收斂的有界證明

看板Math作者 (阿澤)時間5年前 (2020/05/09 17:45), 5年前編輯推噓2(2推 0噓 17→)
留言19則, 1人參與, 5年前最新討論串1/1
小弟我讀的是royden 第四版的 http://i.imgur.com/efPU7z5.jpg
在定理7裡面他要討論在Lp p>=1的時候 一個序列如果是weak convergent => bounded 課本裡面在定義e_n 裡面 \sum e_k f_n*要改成\sum e_k f_k* 這裡有個小typo 對於證明我有兩個問題 (1) e_k這個序列他主要是怎麼定義的，有點不太懂他為什麼這樣定義 (2) (19)那邊的不等式我不知道怎麼推得的，大於等於那個地方 還請板上大大可以提示一下Orz ----- Sent from JPTT on my Sony G3426. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.216.50.58 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1589017559.A.4C7.html
推
05/10 04:04, 5年前 , 1F
我自己當時上課也是用Royden，不過是用第三版...
05/10 04:04, 1F
感謝大大，我看懂了
→
05/10 04:05, 5年前 , 2F
不是很喜歡他的書，他把很多東西放到習題，例如你第
05/10 04:05, 2F
→
05/10 04:05, 5年前 , 3F
一個問題，好像跟Problem 8.18 有關吧，建議你先去
05/10 04:05, 3F
→
05/10 04:05, 5年前 , 4F
看一下。
05/10 04:05, 4F
→
05/10 04:06, 5年前 , 5F
第二個問題的話，一坨summation一定會大於等於其中
05/10 04:06, 5F
→
05/10 04:07, 5年前 , 6F
一項，然後他{e_k}序列的造法是為了讓積分都是非負
05/10 04:07, 6F
→
05/10 04:07, 5年前 , 7F
的，所以取特例k=n，裡面的東西積分就是
05/10 04:07, 7F
→
05/10 04:08, 5年前 , 8F
f_n的L^p-norm，e_k定義的常數往外提。
05/10 04:08, 8F
→
05/10 04:09, 5年前 , 9F
這個定理有一個更廣義的版本：Let {x_n} be a seq.
05/10 04:09, 9F
→
05/10 04:10, 5年前 , 10F
in Banach space E. If x_n converges weakly to x
05/10 04:10, 10F
→
05/10 04:10, 5年前 , 11F
in E, then (1) {x_n} is bdd. in E and
05/10 04:10, 11F
→
05/10 04:11, 5年前 , 12F
(2)x在E上的範數不超過 liminf x_n 在E上的範數
05/10 04:11, 12F
→
05/10 04:13, 5年前 , 13F
這個證明會需要用到Banach-Steinhaus定理
05/10 04:13, 13F
→
05/10 04:13, 5年前 , 14F
而再回來看你的問題，這裡在講 L^p class，所以應該
05/10 04:13, 14F
→
05/10 04:14, 5年前 , 15F
是有屬於L^p空間自己特別的證明(比較狹隘)，因為上
05/10 04:14, 15F
→
05/10 04:17, 5年前 , 16F
面的定理直接取 E=L^p、x_n=f_n、x=f 就證完了
05/10 04:17, 16F
推
05/10 04:20, 5年前 , 17F
如果不借用泛函分析的工具的話，實分析處理起來個人
05/10 04:20, 17F
→
05/10 04:21, 5年前 , 18F
覺得麻煩XD 至於為什麼{e_k}要那樣取，你看下一頁他
05/10 04:21, 18F
→
05/10 04:21, 5年前 , 19F
是怎麼估計的應該就是為了湊出一個n/2的gap
05/10 04:21, 19F
※ 編輯: putintostyle (101.15.216.160 臺灣), 05/15/2020 21:03:51
‣ 更多 putintostyle 的文章
文章代碼(AID): #1UjdlNJ7 (Math)