[微積] 勻速參數曲線的轉彎方程求解

看板Math作者 (chi_square)時間5年前 (2020/03/28 13:39), 5年前編輯推噓11(11推 0噓 23→)
留言34則, 2人參與, 5年前最新討論串1/1
工程上遇到的一個路徑問題，不知道有什麼方法可以推導 考慮二維情況下，一參數曲線r(t)由(0, 1)出發且勻速前進至(1, 0)，假設此曲線需滿足條 件 1. ||r’(t)|| = 1 2. max|r_x’(t)|, max|r_y’(t)| <= V (若滿足1, 4, 5，則 V = 1 自動滿足） 3. max|r_x’’(t)|, max|r_y’’(t)| <= A 4. r(0) = (0, 1); r’(0) = (1, 0) 5. r(T) = (1, 0); r’(T) = (0, -1); T = inf{t >= 0| r(t) = (1, 0)} 則想求，在滿足1 - 5 中的最短的r(t)為何？ 另想求一個變化，因為想說V, A需有夠大才能有解，所以想說在滿足 1 - 4 的情況下 r(t) 往 y = 0出發通過某x_T，也就是r(0) = (1, 0) 且 r(T) = (0, x_T) 則可使x_T最小的 r(t) 為何 想學變分學裡的最速降線列式但卻寫不下來，不知道有沒有適合求這條r(t)的方法 解析解或數值解都可以，先謝謝各位了 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 27.52.40.148 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1585373988.A.731.html
推
03/28 20:48, 5年前 , 1F
int{t >= 0| r(t) = (1, 0)} 這個符號甚麼意思?
03/28 20:48, 1F
→
03/28 20:51, 5年前 , 2F
在滿足 1 - 4 的情況下，r=(1，0)和4的r(0)=(0，1)
03/28 20:51, 2F
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03/28 20:51, 5年前 , 3F
矛盾
03/28 20:51, 3F
推
03/28 20:53, 5年前 , 4F
題意不清
03/28 20:53, 4F
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03/28 20:55, 5年前 , 5F
r(t)=(x(t)，y(t)) 考慮方程x'(t)^2+y'(t)^2=1去解
03/28 20:55, 5F
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03/28 20:56, 5年前 , 6F
有初始值的微分方程。可以考慮x(t)=cost y(t)=sint
03/28 20:56, 6F
若考慮限制式1 - 5，那麼在A>=1時，等速率圓周運動 （sin t, cos t) ； 0 <= t <= pi / 2 是一個可行解沒錯，但難點在於可否證明或反證 (sin t, cos t) 是此時所有滿足1 - 5的解中最短的
推
03/28 21:00, 5年前 , 7F
r(t)的長度會是int|r'(t)|=inta到b=T時間
03/28 21:00, 7F
現在就是連結束時間T是多少都不知道，所以不知道怎麼積
推
03/28 21:03, 5年前 , 8F
以上是我想到的幾個工具。當然變分法是可以考慮用看
03/28 21:03, 8F
推
03/28 21:07, 5年前 , 9F
看懂了，你的int是積分。
03/28 21:07, 9F
抱歉打錯字，我想打的是inf，意指當r(t)=(1, 0)時的t，已修正 ※ 編輯: coastq22889 (27.246.202.212 臺灣), 03/28/2020 23:11:33
推
03/28 23:32, 5年前 , 10F
你這題可以用物理去想。
03/28 23:32, 10F
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03/28 23:46, 5年前 , 11F
單純用變分法我無法直接這題，因為你的限制式很多
03/28 23:46, 11F
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03/28 23:49, 5年前 , 12F
我用變分法+物理圓周運動有一個做法明天打
03/28 23:49, 12F
推
03/28 23:58, 5年前 , 13F
變分法如你所言，我印象不是很好使用。你這題剛好有
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03/28 23:58, 5年前 , 14F
物理意義。
03/28 23:58, 14F
※ 編輯: coastq22889 (27.246.202.212 臺灣), 03/29/2020 00:05:50
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03/29 01:00, 5年前 , 15F
2這條應該可以省略。基於4和5，V≧1。而1造成
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03/29 01:01, 5年前 , 16F
|r_x'(t)|和|r_y'(t)|必≦1。
03/29 01:01, 16F
是，我稍微備註一下。2 是可以由1, 4, 5推導出來的式子 ※ 編輯: coastq22889 (27.242.161.192 臺灣), 03/29/2020 09:46:45 ※ 編輯: coastq22889 (27.242.161.192 臺灣), 03/29/2020 09:48:49
推
03/29 11:33, 5年前 , 17F
03/29 11:33, 17F
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03/29 11:34, 5年前 , 18F
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03/29 11:35, 5年前 , 19F
03/29 11:35, 19F
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03/29 11:35, 5年前 , 20F
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03/29 11:36, 5年前 , 21F
03/29 11:36, 21F
我懂了，也就是當A>=1的時候，以 A = 1 / R^2 的向心力公式在兩個boundary做圓，最後 做兩圓的切線就可以得到最佳路徑，感謝提供。
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03/29 11:38, 5年前 , 22F
你這題因為限制式太多，所以古典變分法不好用，也因
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03/29 11:38, 5年前 , 23F
為限制多，剛好又滿足物理上的圓周運動，所以應該可
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03/29 11:39, 5年前 , 24F
照我這樣子解。<1>到<5>化為物理描述，用圓周運動
03/29 11:39, 24F
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03/29 11:40, 5年前 , 25F
變分法的兩點之間連線，極端性原理(不懂上網查)。
03/29 11:40, 25F
推
03/29 11:42, 5年前 , 26F
我論證是所有曲線喔，不是只有圓而已，技巧性的把圓
03/29 11:42, 26F
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03/29 11:42, 5年前 , 27F
以外排除。
03/29 11:42, 27F
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03/29 11:44, 5年前 , 28F
https://reurl.cc/yZe9o8 這裡說古典變分法對有限制
03/29 11:44, 28F
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03/29 11:44, 5年前 , 29F
式的實際工程問題式無能為力的
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推
03/29 12:02, 5年前 , 30F
你的第二個變化題用以上討論可以輕鬆做出，不過你題
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03/29 12:02, 5年前 , 31F
目數字還是沒改
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03/29 12:04, 5年前 , 32F
也就是r(0) =(1, 0)<=和<4>矛盾且 r(T) = (0, x_T)
03/29 12:04, 32F
這邊我大概瞭解了，若A>4則向心力足以提供路徑在到達y=0時轉一整圈，此時x_T可為-inf ，其餘就是做一最小圓看圓與y=0時x的交點 ※ 編輯: coastq22889 (110.26.43.210 臺灣), 03/29/2020 20:20:06
推
03/29 21:17, 5年前 , 33F
恩，不同的a會影響軌跡，看要轉一圈或多圈都行。因
03/29 21:17, 33F
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03/29 21:17, 5年前 , 34F
為直線比較好，所以圓讓它越小圈越好。
03/29 21:17, 34F
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