[代數] GL(n,z)的order

看板Math作者 (都是假的)時間4年前 (2020/03/07 20:36), 4年前編輯推噓4(4推 0噓 27→)
留言31則, 4人參與, 4年前最新討論串1/1
最近在看一些入門的抽象代數,遇到了一些有關general linear group的問題 符號定義 GL(n,z)：由所有存在反矩陣且內部元素都屬於z這個集合的n階方陣所組成的集合（我可能翻的不好，附上原文) The set of n*n invertible matrices with entries in z Zk:小於k的非負整數組成的集合 例如:Z4=｛0, 1, 2, 3｝ 問題一： The order of GL(2 , Z7) 我的理解是問內部元素由{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}所組成且存在反矩陣的2*2矩陣個數 答案是給(7*7-1)(7*7-7) 因為第一個行(column)可以是任何向量，但就不能是0向量，第二個行可以是任何向量，但? 這樣一來第一行49種可能扣掉0向量這種可能，第二行也是49種可能，但要扣掉第一行向量的倍數，0到6倍共7種可能，就形成那個式子。 可是第二行去扣掉的那個向量有可能本來就不包含在那49種可能裡面吧？假設第一行向量是[1,2]的transpose好了，那它的4倍[4,8]的transpose本來就不在那49種可能裡面啊？但卻還是照樣扣掉？個人不太能理解這種算法，上網也沒找到關於這方面的解釋。 問題二 GL(n,z)在z是有限集的情況下是一個group？ 就我所知，group要具備有封閉性。但是把GL(n,z)裡面的矩陣一直乘下去裡面的entry會超出這個z的範圍吧？那怎麼能還叫作general linear group呢？ 問題可能有點基本，但是我算是半自學，沒什麼人能問，希望各位高手幫忙解惑，感謝。 ----- Sent from JPTT on my Samsung SM-G885Y. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.164.173.3 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1583584608.A.E12.html ※ 編輯: mic2754 (1.164.173.3 臺灣), 03/07/2020 20:38:16
推
03/07 21:16, 4年前 , 1F
8在Z7裡面是1，你的問題應該是這個？
03/07 21:16, 1F
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03/07 21:26, 4年前 , 2F
回樓上
03/07 21:26, 2F
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03/07 21:26, 4年前 , 3F
那這樣會變[4,1]吧？這樣會是[1,2]的線性組合嗎？還
03/07 21:26, 3F
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03/07 21:26, 4年前 , 4F
是說這在這定義裡面是算的呢？
03/07 21:26, 4F
推
03/07 22:01, 4年前 , 5F
1等價於8在Z_7,所以[4，1]是[1，2]的線性組合
03/07 22:01, 5F
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03/07 22:02, 4年前 , 6F
首先你要熟悉同餘式理論(MOD)這邊才會比較懂
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03/07 22:03, 4年前 , 7F
問題一 對2*2的Z_7矩陣，第一行有7*7種組合，去掉
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03/07 22:04, 4年前 , 8F
(0，0)^t這一種，有7^2-1種。接下來用高中計數的乘
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03/07 22:05, 4年前 , 9F
法原理。第二行一樣有7*7種情形，但去掉第一行的線
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03/07 22:06, 4年前 , 10F
性組合，有{0，1，2，3，4，5，6}共7種倍數，也就
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03/07 22:07, 4年前 , 11F
固定第一行為(a，b)，第二行為0*(a，b)、1*(a，b)..
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03/07 22:08, 4年前 , 12F
2*(a，b)...6*(a，b)共七種，也就是7^2-7種。由乘法
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03/07 22:09, 4年前 , 13F
原理將7^2-1和7^2-7相乘即為所求。你後面的想法想歪
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03/07 22:09, 4年前 , 14F
了。
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03/07 22:11, 4年前 , 15F
更高維的GL(n,z_p)如法炮製。
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03/07 22:12, 4年前 , 16F
問題二ˋ檢查群的五個條件。1非空2矩陣乘法即為群乘
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03/07 22:13, 4年前 , 17F
法3.群結合律即為矩陣結合律4.identity即為單位矩陣
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03/07 22:14, 4年前 , 18F
6.inverse因為GL(n，z_p)det都不為1，故都有反矩陣
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03/07 22:15, 4年前 , 19F
就是群的反元素。以上5項條件滿足群的5條件，故得
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03/07 22:15, 4年前 , 20F
證
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推
03/07 22:17, 4年前 , 21F
GL(n,z_7)裡面的矩陣一直乘下去裡面的entry超過7之
03/07 22:17, 21F
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03/07 22:18, 4年前 , 22F
後，你一直取mod7，不會超過6，只會在{0~6}之間跳來
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03/07 22:19, 4年前 , 23F
跳去
03/07 22:19, 23F
推
03/07 22:34, 4年前 , 24F
上面說得很清楚了。我另外補充一個：你要先去找Zn
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03/07 22:34, 4年前 , 25F
這種的資料看。如果那本書是入門書，前面應該有類
03/07 22:34, 25F
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03/07 22:34, 4年前 , 26F
似的章節。
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03/07 23:13, 4年前 , 27F
感謝chem大，我懂了，癥結點全在於我對Zn的理解不完
03/07 23:13, 27F
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03/07 23:13, 4年前 , 28F
全，之前看太快覺得自己懂了就沒把定義弄到非常清楚
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03/07 23:13, 4年前 , 29F
，現在看來這問題真的滿蠢的
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※ 編輯: mic2754 (1.164.173.3 臺灣), 03/07/2020 23:14:25
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03/07 23:17, 4年前 , 30F
回V大，是的前面有，但是我當時就直接掃過去了，想
03/07 23:17, 30F
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03/07 23:17, 4年前 , 31F
這題時腦袋一直鬼打牆沒想到mod7，實在慚愧
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※ 編輯: mic2754 (1.164.173.3 臺灣), 03/07/2020 23:19:36
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