[線代] 高維向量夾角

看板Math作者Panthalassa (真。盤古大洋)時間6年前 (2019/11/11 12:35)推噓0(0推 0噓 22→)

留言22則, 3人參與討論串1/1

數學版的大家好，有一題線性代數想請教考慮k 個N維隨機的向量 u1, u2, ... uk 滿足兩兩正交，且長度為 1 今有一個 N*N 矩陣 A (可能給定也可能隨機) 則問： (1) 若Au1 和 Au2 的夾角為 θ 2，則E[cos^2(θ 2)]=? 註：也就是 (u1’A’Au2)^2/(u1’A’Au1)(u2’A’Au2) 的期望值 (2) 推廣：若 Auk 與 span{Au1, ..., Au(k-1)} 之間的夾角為 θ k，則E[cos^2(θ k)]= 註：設 U=[Au1 ... Au(k-1)] 定義 P=U(U’U)^(-1)U’ 則所求就是 (uk’A’PAuk)^2/(uk’A’Auk)^2 的期望值我想知道的是，(1) 和 (2) 的結果和 A 的什麼性質有關，是 singular values 嗎，或是 determinant 呢，還是其他的？什麼關鍵字比較好找到類似的題目呢？目前知道的兩個較 trivial 的情況： (i) A 是正交矩陣那兩個結果都會是 0 (ii) A 的各 entries是 zero-mean i.i.d. Gaussian distributed r.v. 那(2)的答案似乎是 (k-1)/N 特別讓我在意的是這兩種 A： (iii) A 是由兩個矩陣相加組成，一個是 identity matrix I，另一個則是各 entries是 zero-mean i.i.d. Gaussian distributed r.v. 的矩陣(給定 va riance 為 σ^2) (iv) A 是任意一個 Toeplitz 矩陣或circulant matrix 謝謝大家 ----- Sent from JPTT on my iPhone -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.71.127.185 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1573446929.A.600.html ※ 編輯: Panthalassa (111.71.127.185 臺灣), 11/11/2019 12:43:37 ※ 編輯: Panthalassa (111.71.127.185 臺灣), 11/11/2019 12:45:39

→