[線代] 關於向量場的定義

看板Math作者時間6年前 (2019/08/04 00:14), 6年前編輯推噓8(8推 0噓 16→)
留言24則, 5人參與, 6年前最新討論串1/1
這個問題 是我很久以前就想問的 但因為似乎做物理的沒什麼人關心 所以我想這邊問問看 在數學中，對於向量的定義為 向量對加法有交換律，分配律 存在加法單位元素，存在加法反元素 並對於一個field，此field對向量乘法存在分配律 而向量對此field中兩元素的乘，滿足交換律 而向量之和，對此field存在分配律 且此field的單位元素對向量作用後仍為原向量 以上為八個定義 但物理中，只說若向量滿足座標轉換，即為向量 現在問題來了 以上兩種定義是否為等價？ 若不是（直覺看起來可能真的不是） 若不是（直覺看起來可能真的不是） 物理中的定義存在什麼樣的缺陷？ 有高手能稍微引導我一下嗎？ 感激 ※ 編輯: keyesleo (101.12.16.191 臺灣), 08/04/2019 00:14:41
推
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這兩個向量意思不一樣，所以定義也不一樣
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推
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物理定義的向量其實是這個：給定一個叫做「空間」的
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manifold，它的tangent space的元素就是向量。
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反之，就算你弄出另一個數學上的向量空間，其元素也
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不是物理講的向量。
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08/04 01:09, 6年前 , 6F
tangent space一定是數學定義的向量空間，所以這裡
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沒有漏洞。
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謝謝 但我不會manifold，所以其實不大知道意思 但還是感謝您 ※ 編輯: keyesleo (101.12.16.191 臺灣), 08/04/2019 01:13:08
推
08/04 01:34, 6年前 , 8F
那我這麼解釋好了：那個物理定義要求的是向量的方向
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必須代表真正空間中的方向。
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所以你不能隨便抓三個物理量擺一起就說那是三維向量
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。
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例如說一團氣體的溫度、密度、壓力，三個擺一起over
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實數是向量空間沒問題，但是跟空間的方向完全無關
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推
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唯一的缺陷是名詞(就是「向量」二字)的 overload。
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推
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向量空間是一個名詞
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08/04 11:37, 6年前 , 16F
08/04 11:37, 16F
推
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如果overloading沒有疑義也就算了。最慘的就是有時
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候 quantum state vector 有一個 SU(N) tensor inde
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x 和一個 real space tensor index，然後作者執意把
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這些都叫做 vector rep...
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推
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加一個tangent會好很多。
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"滿足座標變換"其實有歧異 因為物理學家還分
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08/06 01:39, 6年前 , 23F
contravariant 和 covariant
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推
08/07 20:44, 6年前 , 24F
所以我強調是tangent space。
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