[代數] 為什麼 Reduction mod p 要是 p 是質數?

看板Math作者 (希布凜)時間6年前 (2019/06/07 13:38), 6年前編輯推噓5(5推 0噓 23→)
留言28則, 3人參與, 6年前最新討論串1/1
在整數多項式 難道不行 Reduction mod n，n 是任意整數，然後其他敘述不變嗎? 這個問題的源頭其實是來自這裡 https://imgur.com/Efy1dEA
畫紅線的部分說他不一定是field 所以他說要借助一個 Principle ring R_(p) [定義如下] https://imgur.com/qnKgFQb
這樣他的 R_(p)/ pR_(p) 才是一個 field 但是我回去看 Z[t] 上的 Reduction mod p 的證明裡 只有用到首項係數不能消失 好像沒有用到 Z/pZ 是 field 的性質啊 ? 甚至好像改成 mod n 也可以 ? 我哪裡想錯了，有什麼反例嗎 ? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.249.200 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1559885924.A.98D.html
推
06/07 14:17, 6年前 , 1F
如果p不是質數的話 R_(p)就不會是well defined的環
06/07 14:17, 1F
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06/07 14:18, 6年前 , 2F
例如p取6的話1/2和1/3都在R_(p)裡面(2,3不被6整除)
06/07 14:18, 2F
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06/07 14:19, 6年前 , 3F
但(1/2)*(1/3)=1/6就不屬於R_(p)了(分母是6)
06/07 14:19, 3F
呃這我知道，我的問題不在這裡 我的問題主要是為什麼 reduction 過去的要是 field 呢? 例如整數多項式用 reduction 時是用 mod p，因為 Z/pZ 是 field 但是好像用 mod n 也可以 ?
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06/08 01:54, 6年前 , 4F
一定要 field 的理由還沒想到 但 mod n 肯定不行
06/08 01:54, 4F
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06/08 01:54, 6年前 , 5F
因為連quotient field都沒有
06/08 01:54, 5F
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06/08 02:01, 6年前 , 6F
嗯 其實應該也可以啦 如果只是要test irreducibil
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06/08 02:01, 6年前 , 7F
ity 的話
06/08 02:01, 7F
推
06/08 02:12, 6年前 , 8F
我覺得問題是出在 如果不是 integral domain, 那要
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06/08 02:12, 6年前 , 9F
check irreducibility 是靠北麻煩的事情
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06/08 02:14, 6年前 , 10F
舉個例子 在Z/6Z[x]裡頭 x = (3x-4)(2x-3), 也就是
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06/08 02:14, 6年前 , 11F
連 x 都能分解XD
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所以雖然的確mod n也對 但光檢查就能玩死你
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06/08 02:17, 6年前 , 13F
而只要是integral domain 那 gauss lemma 表示可以
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06/08 02:17, 6年前 , 14F
直接考慮 quotient field 就好 所以都直接看 fiel
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06/08 02:17, 6年前 , 15F
d 了
06/08 02:17, 15F
那 在 K 可約 → 在 R 可約 → 在 R/pR 可約 → 在 R/pR 的 quotient field可約 這段想法有哪一步是錯的嗎 ? 我一直想不通到底為什麼有必要要用個 R_(p) 來證明
推
06/08 17:30, 6年前 , 16F
第一個箭頭很顯然嗎？是不是要在地化一下？人在外
06/08 17:30, 16F
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06/08 17:30, 6年前 , 17F
面不方便思考XD
06/08 17:30, 17F
第一個是 Gauss lemma (吧?)
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06/08 23:21, 6年前 , 18F
嗯，對，應該沒問題。那邊做 localization 很多餘。
06/08 23:21, 18F
哦 感謝你~
推
06/09 02:54, 6年前 , 19F
Z/6Z[x]裡面，好像沒有不能分解的東西，用CRT。
06/09 02:54, 19F
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06/09 02:56, 6年前 , 20F
x+1=(4x+1)(3x+1) f=f*1=1*f，找一個g=f(mod2)、
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06/09 02:56, 6年前 , 21F
g=1(mod3)，h=1(mod2)、h=f(mod3)，就搞定了。
06/09 02:56, 21F
欸 0_0 似乎真的是這樣
推
06/09 23:18, 6年前 , 22F
好像還是說錯了，unit太無聊，0靠zero-divisor搞定
06/09 23:18, 22F
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06/09 23:20, 6年前 , 23F
，剩下的所有東西都能寫成兩個東西的乘積，所以根本
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06/09 23:20, 6年前 , 24F
沒有不可約的東西，大概是這樣。
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欸? 上面說的 Chinese Remainder 不行那樣算嗎?
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06/10 22:49, 6年前 , 25F
如果是拿1或5去跑CRT的話，得不到unit以外的東西。
06/10 22:49, 25F
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06/10 22:51, 6年前 , 26F
整個Z/6Z[x]拆成：0，1、5(unit)，2=2*4，4=4*4，
06/10 22:51, 26F
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06/10 22:52, 6年前 , 27F
3=3*3，剩下的跑CRT。也沒到錯的程度，沒有講清楚就
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06/10 22:52, 6年前 , 28F
是了。平常談可約的時候都不考慮0、1等元素的。
06/10 22:52, 28F
哦，謝謝 ※ 編輯: shiburin (140.112.25.121 臺灣), 06/12/2019 10:45:08
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