[中學] 高中的NG定理(性質)

看板Math作者 (肥鵝)時間5年前 (2019/05/13 19:07), 5年前編輯推噓12(12推 0噓 24→)
留言36則, 8人參與, 5年前最新討論串1/1
本篇想要整理出一篇 你以為是對的，確實也是對的，但其實課本沒證！的定理 要符合以下的其中一種 (1) 被很多學生，甚至老師，當成理所當然，其實不是那樣 (2) 誤以為已經證明過的性質(其實只是介紹過) 盡量避免 (3) 以前考過，最近的課綱刪掉了，單純超出範圍的性質 (4) 單純是一些題目內會出現的常用公式(只是課本沒教) 我想要蒐集的是那種，意外！我以為有證啊... 啊啊啊，感覺很難解釋，總之舉個例就知道了 ‧高一上：數與式 (1) r 是有限或循環小數 <--> r 是有理數 (2) log_2(3)、(10)^(1/3) 是無理數 (3) √2^√2 是無理數 (4) 除了加減乘除根號做出來以外的數，是不可尺規作圖的數字 (5) 算幾不等式 n 個的版本 ‧高一上：多項式 (6) 勘根定理 (7) 若 √2+i 是有理係數多項式 f(x) 的一根，則 f 至少是 4 次 (8) Gauss lemma: f 是整係數多項式, g, h 是有理係數多項式 若 f = g h, 則存在整數 c 使得 g/c, ch 都是整係數多項式 (9) f(x) 次數不大於 n, 通過 n+1 個點(x坐標相異), 這樣的 f(x) 唯一存在 (10) f(x) 除以 x^4 - x 的餘數, 可以將 x^4 代換成 x (11) 多項式圖形會和 x 軸相切 <--> 該處有重根 (12) f(x) 除以 g(x) 的餘式是 r(x) 則 f^3 除以 g 的餘式，等於 r^3 除以 g 的餘式 (13) 代數基本定理 ‧高一上：指對數 (14) a > 0, n 正整數, 則 b = a^(1/n) 是滿足 b^n = a 的唯一正根 a > 0, r 實數, a^r 的定義 (15) 指數函數的定義域、值域、單調性、凹凸性 ‧高一下：數列與級數 (16) a_n = a_(n-1) + 2a_(n-2) 的一般式 ‧高一下：排列組合 / 題型和解法五花八門，節哀順變 (17) 將 1~9 號球分成三堆，有 9!/(3! 3! 3! 3!) 種分法 p.s. 課本其實沒有教第四個 3! (18) nx << 1, (1+x)^n ~= 1+nx 物理常用近似公式之一 ‧高一下：機率 ‧高一下：數據分析 (19) 最小平方法 有證。沒錯，課本附錄居然有證明... (20) 給定一組資料點，若某一點往平均移動/拉離平均，則標準差會減少/增加 ‧高二上：三角函數 ‧高二上：直線與圓 / 都是線性規劃的錯 (21) 如果目標函數不是直線，則最大最小值還是發生在邊界，但不一定是端點 常見例子是 x^2 + y^2 或 y/x ‧高二上：平面向量 (22) 斜坐標 (23) 柯西不等式 n 個的情況 ‧高二下：空間向量 ‧高二下：空間中的平面與直線 (24) 田字窗戶的光投影，直線會維持直線，但線段比例會改變 (25) 平面上圖形，投影至另一平面，面積會乘上 cos x (兩面角) ‧高二下：矩陣 / 主要問題都是出題老師拿線代考高中生 (26) (AB)C = A(BC) 若 AB = I, 則 BA = I det(AB) = det(A) det(B) (27) 轉移矩陣的穩態是否存在 ‧高二下：圓錐曲線 (28) 二次曲線和直線的關係(含切線) 果然這不能照般多項式啊。99課綱表示要避免教這個 (29) 光學性質、漸進線各性質、焦距焦軸 課綱刪光光了 ‧高三上：機率與統計II / 這次有教期望值、常見分布 (30) 常態分布 99課綱說可以介紹這個東西的數學表示法(驚恐) (31) 信心水準 個人私怨，超級討厭(?) ‧高三上：三角函數II / 這次有教弧度、圖形、疊合、複數極式 (32) x < 5度左右, sin(x) ~= x ~= tan(x) 物理常用近似公式之一 ‧高三下：極限 / 基本上靠直觀帶過去 (33) 羅必達 ‧高三下：多項式微積分 (自然組) (34) sin(x) 的微分是 cos(x) 物理的簡諧運動會碰到 啊啊啊完蛋了快睡著了，總之先打到這邊 其實我比較想要的大多都集中在高一 高二高三的部分很少(感覺只是普通的超出範圍...) 板友也可以幫忙想想看其他常被誤解有證明的定理 或是指出我的列表哪裡有問題，我現在腦袋不太清楚了qw q -- 嗯嗯ow o -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.28 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1557745664.A.C44.html
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05/13 21:22, 5年前 , 1F
圓錐曲線跟二次曲線及幾何定義是相等的 也算沒證的
05/13 21:22, 1F
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05/13 21:22, 5年前 , 2F
吧
05/13 21:22, 2F
推
05/13 21:24, 5年前 , 3F
π也是無理數。
05/13 21:24, 3F
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05/13 21:25, 5年前 , 4F
det那裡不就是爆開嗎xD 連線代n階的不也是定義爆開
05/13 21:25, 4F
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05/13 21:25, 5年前 , 5F
+induction證嗎
05/13 21:25, 5F
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05/13 21:25, 5年前 , 6F
說起來我們老師有逼人把3x3行列式相乘的定理爆開XD
05/13 21:25, 6F
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05/13 21:27, 5年前 , 7F
可以不需要爆。有一個2n階行列式的證法。
05/13 21:27, 7F
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05/13 21:28, 5年前 , 8F
說起來，三角不等式也沒證明。
05/13 21:28, 8F
推
05/13 23:01, 5年前 , 9F
沒證是什麼意思?是單純指課本沒寫?還是高中數學無法
05/13 23:01, 9F
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05/13 23:02, 5年前 , 10F
證明? 例如算幾不等式, wiki上那個證明可以嗎
05/13 23:02, 10F
推
05/13 23:05, 5年前 , 11F
課本沒有或課綱不准講的吧。
05/13 23:05, 11F
推
05/14 00:12, 5年前 , 12F
高一的那些東西，我的高一老師都有好好把他證完XD
05/14 00:12, 12F
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05/14 00:12, 5年前 , 13F
每節上課上課都聽了一堆證明
05/14 00:12, 13F
推
05/14 03:02, 5年前 , 14F
我當初上課有些老師有證過欸 不過我是數資班的
05/14 03:02, 14F
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05/14 04:19, 5年前 , 15F
沒證的首要條件是課本沒寫 不過畢竟我沒有把課本拿
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05/14 04:19, 5年前 , 16F
來看 第二是有些(但不是全部)的學生或老師 會忘記
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05/14 04:19, 5年前 , 17F
去證明(或至少宣佈這個不能證)
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05/14 04:20, 5年前 , 18F
很多命題本身並不難 只是沒想到要證明而已
05/14 04:20, 18F
推
05/14 13:23, 5年前 , 19F
想起來了，相似形定理也沒有證明過。
05/14 13:23, 19F
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05/14 13:28, 5年前 , 20F
例如：三內角決定三邊長比例。所以三角函數的定義也
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05/14 13:28, 5年前 , 21F
岌岌可危。
05/14 13:28, 21F
這是幾何學公設的問題 所有幾何學公設都閃不掉SAS全等或相似當公理 (應該是吧 歐幾里得 希爾伯特 B開頭那個都是 Tarski忘了)
推
05/14 13:40, 5年前 , 22F
把歐氏空間當黎曼流形就OK了。
05/14 13:40, 22F
把歐幾里得的幾何原本拿來用，都好過manifold啊我都要忘光了(眼神死) 而且manifold的定義不需要依賴R^n嗎？還是只有differentiable的才要 就算可以用manifold，總也需要characterization吧，那個就會是axiom了
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05/14 13:42, 5年前 , 23F
說起來，Rudin複分析連π和sin、cos都重新定義一遍
05/14 13:42, 23F
※ 編輯: Desperato (140.112.25.48), 05/14/2019 14:04:08
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05/14 17:38, 5年前 , 24F
manifold 要 locally homeo. to R^n，換成 diffeo.
05/14 17:38, 24F
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05/14 17:39, 5年前 , 25F
的話就變成 diff. manifold。切空間上的 bilinear
05/14 17:39, 25F
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05/14 17:40, 5年前 , 26F
form (positive definite) 就成為一個 metric。
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05/14 17:41, 5年前 , 27F
到這兒應該都沒有遇到 R^n 的奇怪性質。
05/14 17:41, 27F
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05/14 18:20, 5年前 , 28F
我的意思是 如果manifold的定義有用到R^n 那R^n就
05/14 18:20, 28F
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05/14 18:20, 5年前 , 29F
不能用manifold當定義吧 會變循環論證
05/14 18:20, 29F
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05/14 18:20, 5年前 , 30F
R^n 必須要用獨立於 manifold 的東西定義
05/14 18:20, 30F
推
05/14 18:28, 5年前 , 31F
可是只先當成 Banach space 來看待而已也不行嗎？
05/14 18:28, 31F
推
05/15 00:44, 5年前 , 32F
你講出來的"最小平方法"其實已經是大學的證明,ok嗎?
05/15 00:44, 32F
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05/15 04:36, 5年前 , 33F
是沒錯 但99課綱有要求高中課本寫證明喔
05/15 04:36, 33F
推
05/16 22:55, 5年前 , 34F
很多人也以為1+1=2是對的，證明請看本版第一篇
05/16 22:55, 34F
推
05/17 10:39, 5年前 , 35F
去年五月中網友問的還沒有證明出"等圓",到昨天才寫.
05/17 10:39, 35F
推
05/17 11:00, 5年前 , 36F
viviani定理由於來自國中教材~因此高中課本當然沒證
05/17 11:00, 36F
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