[微積] ln|x|微分，x<0 的疑問

看板Math作者時間5年前 (2019/04/27 00:59), 5年前編輯推噓6(6推 0噓 20→)
留言26則, 4人參與, 5年前最新討論串1/1
大家好，如題 我們知道當x<0時 d d 1 1 －－ln|x| = －－ln(-x) = －－．(-1) = －－ dx dx -x x 但是我如果隨便設一個x，例如-2 那這樣微分結果不就變-1/2 可是從ln的函數圖形可以知道不可能有負斜率 請問我的邏輯是哪邊出錯或沒考慮到？ 謝謝大家 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.169.202.70 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1556297997.A.D72.html
推
04/27 01:02, 5年前 , 1F
ln。abs 左半支的斜率都是負的呀？
04/27 01:02, 1F
推
04/27 01:24, 5年前 , 2F
是ln|x|的函數圖形
04/27 01:24, 2F
推
04/27 01:54, 5年前 , 3F
你應該只畫了一般右邊的圖
04/27 01:54, 3F
是的 應該說 課本上一開始先定義了ln(x), x>0 並且附上y=1/x（第一象限）的圖和y=ln(x)的圖（右半邊） 然後就沒了 所以我對於x<0的意義感到非常困惑 我後來上網找到了所謂左半邊的圖 並試著從左半邊的圖去反思它的意義 https://i.imgur.com/Efs6un7.png
我的想法是 對數的定義域必定恆正 因此對於x在左半邊時 強迫加上負號 使得函數值與右半邊的圖相同 請問我這樣想正確嗎？ ※ 編輯: yiting428 (1.169.202.70), 04/27/2019 02:40:54
推
04/27 02:45, 5年前 , 4F
不正確(但很普遍)。因果關係不對。
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04/27 02:48, 5年前 , 5F
如果你的課本用 ∫_1^x dt/t 來定義 ln(x)，那你應
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04/27 02:50, 5年前 , 6F
那你應該從 ∫_{-1}^x dt/t 來思考，首先 x>0 是沒
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04/27 02:52, 5年前 , 7F
有意義的，因為會跨過 1/x 的奇點(x=0)。x=0 也一樣
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04/27 02:53, 5年前 , 8F
無意義，所以僅考慮 x<0。而從積分的定義，顯然
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04/27 02:56, 5年前 , 9F
∫_{-1}^x dt/t = ∫_1^{-x} ds/s，其中 s=-t。
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04/27 02:56, 5年前 , 10F
所以 ∫_{-1}^x dt/t = ∫_1^{-x} ds/s = ln(-x)。
04/27 02:56, 10F
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04/27 02:59, 5年前 , 11F
因此 ∫dx/x 這個不定積分，在 x>0 時會積出 ln(x)
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04/27 03:00, 5年前 , 12F
+C，而在 x<0 時則是 ln(-x)+D，其中 C、D 都是常數
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04/27 03:01, 5年前 , 13F
幾乎在所有的用途上，都不會遇到跨越 x=0 的積分，
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04/27 03:02, 5年前 , 14F
所以 C、D 可能不同這件事顯得很不重要，都寫成 C。
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04/27 03:03, 5年前 , 15F
所以積分表上的公式才是：∫dx/x = ln|x| + C。
04/27 03:03, 15F
謝謝V大的詳細說明 從您的說明我清楚了∫dx/x在x分別為正負時的意義 另外，我原本想請教的是y=ln(x), x<0的意義 答案應該是沒有意義，對嗎？ 因為從定義已經告訴我們 ln(x)的條件就是x>0 而且從指數和對數的意義也可以知道 ln(x), x<0是不存在的 若是非得討論x<0，則必須掛絕對值 也因此得到ln(-x)這個左半邊的函數圖形 請問這樣理解正確嗎？ 感覺這問題很像廢話== ※ 編輯: yiting428 (1.169.202.70), 04/28/2019 00:21:41
推
04/28 01:13, 5年前 , 16F
問題仍然是你怎麼定義log這個函數。你現階段碰得到
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04/28 01:14, 5年前 , 17F
的定義應該都不能拉到 x < 0 沒錯。
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推
04/28 01:15, 5年前 , 18F
目前 ln(負數) 是不存在沒錯。不過有一天你有可能
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04/28 01:16, 5年前 , 19F
會需要，那時候自然會去定一個符合當下需求的定義。
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04/28 01:17, 5年前 , 20F
複變就有把log推廣到整個複數平面。當然，定義域不
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04/28 01:17, 5年前 , 21F
同就不是同一個函數了。所以其實我應該改一下我的第
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04/28 01:17, 5年前 , 22F
一句話。問題是：你說的是哪個log?
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04/28 01:19, 5年前 , 23F
現在你這個log只肯吃正實數，那是沒錯的。
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04/28 01:20, 5年前 , 24F
其實還是 ∫_1^x dt/t 啦XD 只是積分路徑在複數平
04/28 01:20, 24F
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04/28 01:21, 5年前 , 25F
面上繞來繞去的而已。ln 的本質確實是 1/x 的反導
04/28 01:21, 25F
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04/28 01:21, 5年前 , 26F
函數。
04/28 01:21, 26F
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