Re: [微積] 一題證明
: 請問第三題該怎麼證明呢？
如果不是常數函數，那一定有兩點函數值不同。
再根據 MVT，一定有一個 f'≠0 的地方。
正的那邊寫起來跟負的沒差多少，假設 f'(a)＜0 for some a。
因為 f' 遞增，所以在 a 左邊的 x，f'(x)≦f'(a)。
所以 f(x)＝f(a)-∫_x^a f'(t)dt≧f(a)-f'(a)*(a-x)，
上面這行用微分寫的話就是
[ f(x)-f(a) ]/(x-a)＝f'(c)≦f'(a)，因為 x＜c＜a。
而只要找負很大的 x，RHS 就可以任意地大，即 f(x) 一定可以超過 1，矛盾。
微分版本繼續寫的話就是
讓 x→-∞，LHS→0，所以 0≦f'(a)，矛盾。
重點就是 f≧任何一條切線的函數形式，
如果 f 不是常數，那就會大於等於一個一次函數，很容易就超過 1 了。
有些 f 只遞減不遞增，例如 exp(-x)，
當然也有只遞增不遞減的 f。
所以 f'(a) 的正負必須提出來討論。
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