[分析] 關於 arccos 與複對數的理解

看板Math作者jhnny97 (≡(　ﾟДﾟ))時間7年前 (2018/12/07 15:28)推噓0(0推 0噓 3→)

留言3則, 1人參與討論串1/1

(本文有大量圖片，為了閱讀方便可用網頁版或APP觀看) https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1544167700.A.8F7.html 各位好，小弟在一些教材上看過反三角函數可以用複對數的方式表示，並能把原先 [-1,1]、[0,2π] 的定義域與值域擴展到整個複數平面，以arccos為例，藉由以下關係 https://i.imgur.com/GsLrauc.png

可以寫下方程式 https://i.imgur.com/xdjOMlk.png

為了書寫方便定義 https://i.imgur.com/rcwllzQ.png

以及表示方便，複對數取 branch cut https://i.imgur.com/ZLqE41q.png

所以得到 https://i.imgur.com/Pa6GI2X.png

稍做整理有 https://i.imgur.com/ZylQJf4.png

為了使 C=-1,1 兩點連續 +- 都取 +，所以arccos可表示為 https://i.imgur.com/d2X0LRJ.png

小弟在這裡有幾個疑問，從推論上來看(1)、(2)的表示方式都可以但它們在(-∞,-1)、(1,∞)的成長「方向」不同， 1.請問有通用的「常規」的表示方式嗎？　計算上(1)似乎比較順，但很多數學軟體習慣用(2)？ 2.請問經過這樣的推論後，在正式的學術論文中可以寫下arccos(θ)|θ>1這類式子嗎？　之前在板上發過文，似乎有些版友覺得這樣不妥？ 3.若 +- 取 -，不論+-2π都無法使C=-1,1兩點連續，是計算上哪邊出了紕漏的結果？以上，先感謝各位板友解答 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.113.136.219 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1544167700.A.8F7.html ※ 編輯: jhnny97 (140.113.136.219), 12/07/2018 15:28:39

→

Vulpix

12/07 15:55, 7年前 , 1^F

12/07 15:55, 1^F

→

Vulpix

12/07 15:58, 7年前 , 2^F

12/07 15:58, 2^F

意思是兩種(甚至四種?)都可以，只要我講清楚怎用就好了的意思囉？感謝！ ※ 編輯: jhnny97 (140.113.136.219), 12/07/2018 16:07:51

→

Vulpix

12/07 16:11, 7年前 , 3^F