[分析] isomorphism in R^k, homeomorphism ?

看板Math作者 (BlueGun)時間7年前 (2018/10/14 16:12), 7年前編輯推噓0(0推 0噓 14→)
留言14則, 2人參與, 7年前最新討論串1/1
標題這樣下感覺有瑕疵，詳細的問題如下圖畫線部分所示 : https://i.imgur.com/HvEpm2e.jpg
圖是Rudin , Real and Complex analysis ,3e 書中Theorem 2.20證明中的一部分。 符號R^k 是指k-dimensional Euclidean space 這個linear transformation T 就只有R^k -> R^k 這樣一個條件。 T是一個isomorphism 是比較明顯的。 但是一行就直接跳到T也是homeomorphism ...... 不知道Rudin老師的基礎線性代數是指哪一本...... 找了一些方法，有個想法是像同一本書chap.5 裡面(其實還沒看到那)， 去定義T的norm，||T||，這樣只要T是bounded，那T跟T^(-1)就都是continuous 但這樣的T，一定是bounded嗎? 想請問的是如圖畫線第二句的證明，用定理的話，希望盡量最接近定義的 以上問題感謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.173.73.199 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1539504742.A.DC7.html
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10/14 16:27, 7年前 , 1F
你只需要再知道這個 linear trans. 是 conti.
10/14 16:27, 1F
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10/14 16:27, 7年前 , 2F
其實就是你找到那個, 但因為這裡的 dim. finite
10/14 16:27, 2F
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10/14 16:28, 7年前 , 3F
所以一定會 bounded
10/14 16:28, 3F
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10/14 16:31, 7年前 , 4F
至於這個上界可以用柯西不等式造
10/14 16:31, 4F
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10/14 16:33, 7年前 , 5F
另外線代是上一句講反函數也是 linear trans.
10/14 16:33, 5F
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10/14 16:33, 7年前 , 6F
下一句的 homeomorphism 就不必然與其相關了
10/14 16:33, 6F
感謝，我剛繼續往bounded去想，有個想法是: 把R^k一組基底假設出來，比如說是{e_i}，然後{ T(e_i) } 裡必有norm最大的一個 接著證下去似乎能證明 ||T||有限 !!
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10/14 19:23, 7年前 , 7F
||T||有限是因為||T(v)||在compact set上取值。
10/14 19:23, 7F
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10/14 19:38, 7年前 , 8F
樓上是用連續的性質嗎? 但這裡要證 T 連續
10/14 19:38, 8F
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10/14 19:39, 7年前 , 9F
換成 ||T(v)|| 會比較容易看嗎?
10/14 19:39, 9F
今天我也一直想起"f continuous，K compact , then f(K) compact." 這個定理。 因為很多定理都假設f continuous或Borel measurable， 突然之間沒conti. 好像甚麼都不會了的感覺。 後來是寫成這樣，字有點醜，麻煩各位過目一下 : https://i.imgur.com/YoMPtBn.jpg
我是用這本書的定義 ||T|| = sup{||Tx|| : x屬於R^k,||x|| <= 1 }
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10/14 20:06, 7年前 , 10F
我覺得不會……雖然||T||可以用eigenvalue來看。
10/14 20:06, 10F
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10/14 20:08, 7年前 , 11F
我是用了連續函數沒錯。但如果要證明連續，用
10/14 20:08, 11F
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10/14 20:10, 7年前 , 12F
x→0 => x的坐標(有k個)→0 => Tx→0 這樣就好了。
10/14 20:10, 12F
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10/14 20:10, 7年前 , 13F
所有的東西都展開到基底上看係數。
10/14 20:10, 13F
※ 編輯: annboy (1.173.73.199), 10/14/2018 20:22:34
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10/15 01:59, 7年前 , 14F
嗯對這樣比較自然, 畢竟 ||T|| 是後面章節的內容
10/15 01:59, 14F
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