[幾何] 用 symmetry 來 reduce ODE 的維度

看板Math作者 (希布凜)時間7年前 (2018/09/10 18:46), 編輯推噓1(1推 0噓 11→)
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這是來自Arnold ODE 第79頁的一個題目： https://imgur.com/SjQIXDF
先說一下 symmetry 在這裡的定義 如果一個向量場用 g^t 這個 one-parameter diffeomorphism 去 pushforward 得到的向量場跟原本自己一樣的話 這個 g^t 就是 symmetry 問題 1. 要如何證明 Hint ? 我的嘗試: 直接選一個座標然後把 symmetry 的定義寫出來 不過這樣會得到一組PDE。感覺要證明 Hint 不能 暴力解，但想不到怎麼證 問題 2. 為什麼 reduce to n-1 dimenstion ? 我的嘗試: 如果 Hint 是對的，那麼我有 g^(R^(n-1)) 的 group 然後根據前面這段 https://imgur.com/TJxUUo9
g locally 看起來是 translation 這樣我應該會有 dim n-1 的 translation 也就是說我的向量場在這個座標裡面跟 n-1 個 dim 沒有關係 那這樣應該是 reduce to 1 dim 的積分問題了 請問我哪裡推論錯誤了呢？ 拜託各位大神幫我解惑 <(_ _)> 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.249.200 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1536576393.A.E22.html
推
09/11 15:16, 7年前 , 1F
這個 Problem 其實就是前面定理的推廣
09/11 15:16, 1F
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09/11 15:18, 7年前 , 2F
Hint 就用 Lemma 的方法, 造一組 local coordinates
09/11 15:18, 2F
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09/11 15:19, 7年前 , 3F
就可以了. 問題 2. 的話, g 並不是作用在 R^(n-1)
09/11 15:19, 3F
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09/11 15:21, 7年前 , 4F
上面, 而是在 R^n 裡面的 "一堆 R^(n-1)" 上
09/11 15:21, 4F
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09/11 15:23, 7年前 , 5F
translation 只有一個參數, 向量場在這個座標裡
09/11 15:23, 5F
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09/11 15:23, 7年前 , 6F
只跟 1 個 dim 無關
09/11 15:23, 6F
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09/11 15:25, 7年前 , 7F
其實也不是 R^n 和 R^(n-1), 因為只在
09/11 15:25, 7F
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09/11 15:26, 7年前 , 8F
nonstationary point 附近成立, 其實是 dim n 與
09/11 15:26, 8F
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09/11 15:32, 7年前 , 9F
dim n-1 的 balls, 但他們 diffeomorphic to
09/11 15:32, 9F
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09/11 15:32, 7年前 , 10F
R^n 和 R^(n-1) 就是了
09/11 15:32, 10F
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09/11 16:11, 7年前 , 11F
懂了，謝謝
09/11 16:11, 11F
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09/11 16:11, 7年前 , 12F
原來問題 1 在Lemma裡就有提到了
09/11 16:11, 12F
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