[分析] 實數的十進小數表示

看板Math作者 (數學系最不靈光的人)時間6年前 (2018/04/13 00:05), 6年前編輯推噓1(1推 0噓 27→)
留言28則, 5人參與, 6年前最新討論串1/1
最近讀Lax的微積分，對於其中談的實數的十進小數表示(p.12)略有疑惑。 作者說對於數線上任意點a，都能找到整數n使得 n ≦a<n+1. 於是再將此區間[n, n+1)分割為十等份，然後必存在正整數alpha_1使得 n+(alpha_1)/10≦a<n+(alpha_1 + 1)/10. 此時就定義a的小數第一位數字為alpha_1。 仿此步驟，可以定出a的無限小數表示。 但是在該頁下方，作者寫道「the method we described for representing numbers as in 例如 a∈[0, 1) a∈[0.9, 1) a∈[0.99, 1) ... 無限下去，那這樣按著前面所說決定小數位值的方法，不就可以寫出 a=0.999... 了嗎？ 當然我知道上面那個區間套是沒有共同點的，但是如果只是按著書上的做法，我得不出他所 不知道是哪邊想錯了，還請各位朋友指教，謝謝。 http://i.imgur.com/1tSX5yc.jpg
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推
04/13 00:12, 6年前 , 1F
因為 1 在這個切割法裡面, 會被切成 1.0000000...
04/13 00:12, 1F
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04/13 00:12, 6年前 , 2F
而不是 0.99999...
04/13 00:12, 2F
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04/13 00:22, 6年前 , 3F
如果我一開始就知道a=1，這樣就不會有a∈[0, 1)，是
04/13 00:22, 3F
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04/13 00:22, 6年前 , 4F
吧？
04/13 00:22, 4F
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04/13 00:26, 6年前 , 5F
都已經說是,1)了 哪裡會包含1? 而且你文中a很奇怪只
04/13 00:26, 5F
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04/13 00:26, 6年前 , 6F
出現一次 根本沒有寫出a和[n,n+1)之間的關係
04/13 00:26, 6F
不好意思，手機打字好像怪怪的。已修改，謝謝提醒。
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04/13 00:27, 6年前 , 7F
我疑惑的是書上那樣的構造法，我沒辦法一開始就判斷
04/13 00:27, 7F
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04/13 00:27, 6年前 , 8F
出不存在那樣的小數。關於1=0.999...這件事，他是在
04/13 00:27, 8F
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04/13 00:27, 6年前 , 9F
p.13才寫的。
04/13 00:27, 9F
※ 編輯: pentiumevo (101.9.195.33), 04/13/2018 00:28:45 ※ 編輯: pentiumevo (101.9.195.33), 04/13/2018 00:30:04 ※ 編輯: pentiumevo (101.9.195.33), 04/13/2018 00:31:09
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04/13 01:03, 6年前 , 10F
應該是說這種0.999..表示法無法和1.000..畫上等號
04/13 01:03, 10F
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04/13 01:04, 6年前 , 11F
0.999..永遠靠近所取最小區間中的右開區點
04/13 01:04, 11F
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04/13 01:05, 6年前 , 12F
既然是又開區點 按照 a < n+(alpha+1)/10^k的關係式
04/13 01:05, 12F
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04/13 01:06, 6年前 , 13F
就覺不會是那個點 反觀1.0000滿足左閉區間端點
04/13 01:06, 13F
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04/13 01:07, 6年前 , 14F
所以這種表示法 有1.0000... 沒有0.999...的表示法
04/13 01:07, 14F
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04/13 01:40, 6年前 , 15F
這個切割法是你要給我一個確切的「點」, 然後依照
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04/13 01:40, 6年前 , 16F
所述把這個點用一個數列表示
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04/13 01:41, 6年前 , 17F
問題是你找不到一個點使得切出來的數列是09999...
04/13 01:41, 17F
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04/13 01:44, 6年前 , 18F
那樣的a就不存在 寫正式一點 "不存在a 使得對於所
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04/13 01:44, 6年前 , 19F
舉個極端例子, 現在有兩個籃子, 分別叫 A, B
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04/13 01:45, 6年前 , 20F
你在其中一個裡面放一顆球, 然後把這狀態用一個數列
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04/13 01:45, 6年前 , 21F
表示, 方法是: 球在 A 的話, 第一個數是 0, 反之是1
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04/13 01:46, 6年前 , 22F
接著球在 A 的話, 第二個數是 0, 反之是1
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04/13 01:46, 6年前 , 23F
每個位數都是用一模一樣的方法決定
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04/13 01:46, 6年前 , 24F
所以你只會有 000... 和 111... 這兩種
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04/13 01:47, 6年前 , 25F
而你的論述搬到這裡就變成: 那為什麼沒有 010101...
04/13 01:47, 25F
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04/13 01:47, 6年前 , 26F
有n 恆有1-10^(-n)≦a<1" 證明不難應該自己弄得出來
04/13 01:47, 26F
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04/13 01:47, 6年前 , 27F
這個數列? 因為你把主體搞錯了
04/13 01:47, 27F
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04/13 16:45, 6年前 , 28F
那些集合交集非空你才寫得出來a=0.999..
04/13 16:45, 28F
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