[已解決] 反證法請教：假定有最大正整數

看板Math作者 (數學系最不靈光的人)時間6年前 (2018/03/11 21:34), 6年前編輯推噓4(4推 0噓 32→)
留言36則, 6人參與, 6年前最新討論串1/1
在Apostol的線代中，第0.14節提出了一個定理：「如果存在最大正整數n，則n=1。」 Apostol寫說可以用反證法來證明，但我想了很久，始終抓不到作者的意思。 如果要使用反證法，那起手式應該就是要假設n≠1，也就是n。不過接下來我就不知道該怎? 我是想，此地正整數必須遵循Peano公設，假定n為最大正整數，按公設必有後繼n+1。 引入良序性，得n+1≧n。再根據定理條件有n+1≦n。但因為任何正整數不會等於其後繼，所以只會有n<n+1以及n+1<n，於是有n<n，矛盾。所以不可能有最大正整數。 但是這樣推不出定理結論的n=1。 想了很久，實在是沒有一點思路。還請各位朋友指教，謝謝。 ----- Sent from JPTT on my Asus ASUS_Z01KD. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.9.130.45 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1520775261.A.DC6.html
推
03/11 22:26, 6年前 , 1F
反證法的話 我會假定存在最大整數n>1 然後證明這
03/11 22:26, 1F
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03/11 22:26, 6年前 , 2F
樣會導致一個比n更大的正整數m 導致矛盾
03/11 22:26, 2F
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03/11 22:27, 6年前 , 3F
這樣假定不成立的話 最大正整數就只能為1了
03/11 22:27, 3F
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03/11 22:28, 6年前 , 4F
手上沒書 不清楚前後命題為何 不過這這樣說來推導
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03/11 22:29, 6年前 , 5F
大概不會是用加 而是乘 例如若n成立則n^2成立
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03/11 22:29, 6年前 , 6F
才可能有上面的結果
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03/11 22:36, 6年前 , 7F
我覺得很怪啊！因為作者也沒有說他所考慮的正整數集
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03/11 22:36, 6年前 , 8F
合要裝備什麼二元運算。
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03/11 22:38, 6年前 , 9F
03/11 22:38, 9F
※ 編輯: pentiumevo (101.9.130.45), 03/11/2018 22:43:29
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03/11 22:50, 6年前 , 10F
n<n+1以及n+1<n 能夠推得出 n<n?
03/11 22:50, 10F
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03/11 22:59, 6年前 , 11F
所以不能考慮傳遞性？
03/11 22:59, 11F
推
03/11 23:27, 6年前 , 12F
可以，只是你沒有朝著證明那句話前進。要注意前提本
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03/11 23:27, 6年前 , 13F
身是錯誤的，那得出什麼荒謬的結論都沒問題。但是過
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03/11 23:27, 6年前 , 14F
程可能很特殊，你只是剛好沒有走到那條路上。
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推
03/11 23:32, 6年前 , 15F
剛剛看了你的書本網頁版, 我覺得上述n^2替換掉n+1
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03/11 23:32, 6年前 , 16F
例如：若整數1=0，則任意不定元都是3。這應該要同乘
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03/11 23:32, 6年前 , 17F
x-3然後解出x，但如果沒做類似的步驟，很可能得不出
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03/11 23:32, 6年前 , 18F
結論。
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03/11 23:32, 6年前 , 19F
應該就是你所想要的證明
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03/11 23:33, 6年前 , 20F
他只是要你練習 寫出能做出這樣證明的關鍵步驟
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03/11 23:34, 6年前 , 21F
而非後續證明的預備定理
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03/11 23:35, 6年前 , 22F
如果是n^2的寫法，我倒是覺得可以不要寫反證，直接
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03/11 23:35, 6年前 , 23F
來比較快。
03/11 23:35, 23F
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03/11 23:58, 6年前 , 24F
n一定>=1 假設n>1 則n^2>n 矛盾 所以n=1
03/11 23:58, 24F
下面這樣的寫法呢？剛剛趴在桌上想到的。 設n為最大正整數。 因為n是正整數，所以n≧1。 由n≧1有2n-1≧1，即2n-1亦必為正整數。 按定理假設得2n-1≦n，於是推得n≦1。 因為n≧1且≦1，所以n=1。
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03/11 23:59, 6年前 , 25F
估狗了一下發現是有人提出來的東西
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03/11 23:59, 6年前 , 26F
03/11 23:59, 26F
原來是Perron!
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03/12 00:02, 6年前 , 27F
用邏輯來理解的話應該是 前件為假 則任何命題都成立
03/12 00:02, 27F
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03/12 00:07, 6年前 , 28F
用邏輯來講感覺有點隔靴搔癢XD
03/12 00:07, 28F
※ 編輯: pentiumevo (101.9.130.45), 03/12/2018 00:12:02
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03/12 00:13, 6年前 , 29F
其實就邏輯的角度來說 你原本的證明感覺可以(?
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03/12 00:14, 6年前 , 30F
反正你要證明什麼你就假設他的逆命題就好了
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03/12 00:14, 6年前 , 31F
因為假設完你就不管他 然後推出不存在最大正整數
03/12 00:14, 31F
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03/12 00:15, 6年前 , 32F
這樣的話就矛盾 所以假設的反面就會成立
03/12 00:15, 32F
嗯..但我還是感覺我一開始的那個想法不到點子上。 不過還是非常感謝各位朋友的指教！開眼界了，原來這問題竟還是掛上人名的。 謝謝各位。 ※ 編輯: pentiumevo (101.9.130.45), 03/12/2018 00:19:24
推
03/12 06:53, 6年前 , 33F
噗 居然有名字的阿... 我真的不知道 只是照著數
03/12 06:53, 33F
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03/12 06:54, 6年前 , 34F
學的直覺 應該要這樣寫而已
03/12 06:54, 34F
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03/14 17:56, 6年前 , 35F
公設 良序性 ... 走太遠了吧 怎不乾脆從集合論
03/14 17:56, 35F
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03/14 17:56, 6年前 , 36F
出發
03/14 17:56, 36F
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