[線代] rank(A^T A)=rank(A A^T) ?(已解決)

看板Math作者 (BlueGun)時間8年前 (2018/02/05 20:20), 8年前編輯推噓6(6推 0噓 16→)
留言22則, 5人參與, 8年前最新討論串1/1
詳細問題如下: For any m by n matrix, A , rank(A A^T) = rank(A^T A). True or flase ? ^T是代表矩陣的轉置 我的疑問主要來自於此問題並沒有限定field(後面就直接用F代表)為何!! 以我所知的定理來說(Friedberg LA 4E PNIE) Exercise 18 of Section 6.4 Let T:V->W be a linear transformation , where V and W are finite-dimentional inner product spaces. rank(T*T) = rank(TT*) = rank (T). 在這個章節中作者有限定F=R或C。 選擇T=LA，A是m by n矩陣，F=R，很顯然可以得到 rank(A^T A) = rank(A A^T) = rank(A)。 但究竟是不是所有F都成立? 我比較有印象的定理是 Corollary 2 (1) to Theorem 3.6 Let A be an m by n matrix. Then rank(A^T) = rank(A). 這個推論就沒有限制F為何。 自己想了一陣子，似乎無法得到: If x ∈ N(A^T A) => x ∈ N(A) 的推論，這邊N()是代表null space 用關鍵字去找了證明，其中一個大概是這樣敘述: A^T Ax = 0 => x^T A^T Ax = 0 => (Ax)^T Ax = 0 => Ax = 0 (就是這行，有點問題) => x ∈ N(A) 由v^T v = 0 要推得v = 0 似乎是要有內積或範數的定義，例如R^n空間的標準內積(standard inner product)。 回到最初的問題，不限制F為何的話，敘述似乎是錯的， 請教能否用證明敘述是錯的，或者找到反例， 以上問題，感謝。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.214.255.61 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1517833213.A.956.html ※ 編輯: annboy (49.214.255.61), 02/05/2018 20:21:20
推
02/05 21:42, 8年前 , 1F
rank印象中是column space over some F的dim
02/05 21:42, 1F
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02/05 21:44, 8年前 , 2F
看Column Space的話 CS(AA')包含於CS(A)
02/05 21:44, 2F
推
02/05 21:48, 8年前 , 3F
你這問題跟問rank (B) =rank(B^t)不是一樣？for B=A
02/05 21:48, 3F
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02/05 21:48, 8年前 , 4F
A^t?所以是對的啊
02/05 21:48, 4F
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02/05 22:26, 8年前 , 5F
轉置要對調喔
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02/05 22:27, 8年前 , 6F
B^T也是A A^T
02/05 22:27, 6F
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02/05 22:28, 8年前 , 7F
回一樓 我所知的定理也只能推得range 或 null space
02/05 22:28, 7F
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02/05 22:28, 8年前 , 8F
包含的關係而已
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推
02/05 22:54, 8年前 , 9F
XD對
02/05 22:54, 9F
推
02/05 23:14, 8年前 , 10F
這over R對，over C就有問題了吧 （1,I,0,0)之類的
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02/05 23:14, 8年前 , 11F
就錯了
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02/05 23:15, 8年前 , 12F
A=(1,0;0,0), B=(0,1;0,0) rk AB=1, rk BA=0
02/05 23:15, 12F
推
02/05 23:15, 8年前 , 13F
I is the pure imaginary number
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02/05 23:16, 8年前 , 14F
阿抱歉，要轉置矩陣
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推
02/06 05:24, 8年前 , 15F
不限制F是指F可以是ring?還是F是其他的field?如果
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02/06 05:24, 8年前 , 16F
是第一個的話就目前我看過的沒有在over ring的情況
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02/06 05:24, 8年前 , 17F
下討論rank(也可能是我學得少…）如果是第二個的話
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02/06 05:24, 8年前 , 18F
上面留言已有大大舉出反例了哦A=[1,i] over C
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02/06 09:06, 8年前 , 19F
阿對 想2 by 1就比較簡單 我有往2*2去想 不過有點
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02/06 09:06, 8年前 , 20F
嫌煩 感謝各位大大的回覆 ［1 i]是反例沒錯
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02/06 09:08, 8年前 , 21F
因為題目的敘述也沒說 我推測就只是field 該題是成
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02/06 09:08, 8年前 , 22F
大電通所通信數學的某個選項
02/06 09:08, 22F
※ 編輯: annboy (49.214.255.61), 02/06/2018 18:45:51
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