Re: [中學] 轉貼昌爸工作坊的方程式問題

看板Math作者chemmachine (chemmachine)時間8年前 (2017/12/12 01:09)推噓1(1推 0噓 6→)

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※ 引述《thr3ee (亞澤蛙妮可)》之銘言： : 轉貼昌爸工作坊的一題方程式問題 : 已知: xx+sqrt(xx-1)+1/[xx-sqrt(xx-1)]=5 : 所求: xxxx+sqrt(xxxx-1)+1/[xxxx-sqrt(xxxx-1)]=? : ----------------------------------------- : 剛開始看到這題時 : 就知道這題難度很高 : 短時間內想不到太好的方法 : 也有點懷疑是不是題目打的時候有筆誤 : 想徵求良好的做法 : PS: 如果是暴力展開求xx的值會卡在三次方程式 : 如果你有辦法用暴力展開做這題我也很樂意接受回舊文 x^2+sqrt(x^2-1)+1/(x^2-sqrt(x^2-1))=5 求x^4+sqrt(x^4-1)+1/(x^4-sqrt(x^4-1)) 設參數t=x^2+sqrt(x^2-1) t+1/t=5 t^2-5t+1=0 t=(5±sqrt(21))/2 記c=(5+sqrt(21))/2,c'=(5-sqrt(21))/2 x^2+sqrt(x^2-1)=c 或c' 不失一般性，設 c-x^2=sqrt(x^2-1) (c-x^2)^2=x^2-1 x^4-2cx^2+c^2=x^2-1 x^4+(-2c-1)x^2+c^2+1=0 將x^2看為一個變量 x^2=((2c+1)±sqrt((2c+1)^2-4(c^2+1)))/2 x^2=((2c+1±sqrt(4c-3))/2 x^4=((2c+1)^2+4c-3±(4c+2)sqrt(4c-3))/4 或x^4=((2c'+1)^2+4c'-3±(4c'+2)sqrt(4c'-3))/4 這裡c=(5+sqrt(21))/2，c'=(5-sqrt(21))/2 將x^4代入 x^4+sqrt(x^4-1)+1/(x^4-sqrt(x^4-1))即為所求。 # Remark：本題用兩次參數變換t和x^2降低方程的維度。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 218.161.61.7 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1513012148.A.38C.html

推

thr3ee

12/12 16:46, 8年前 , 1^F

12/12 16:46, 1^F

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chemmachine

12/12 17:35, 8年前 , 2^F

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XII

12/12 19:38, 8年前 , 3^F

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