[線代] (closed)三階方陣的Jordan form

看板Math作者 (大叔)時間8年前 (2017/12/09 12:30), 8年前編輯推噓6(6推 0噓 37→)
留言43則, 2人參與, 8年前最新討論串1/1
有個問題想請教大家，但希望解題的方法能侷限在Friedberg線代4e的7.1節The Jordan Canonical Form I，不涉及7.2節The Jordan Canonical Form II的點圖，因為不才希望 先掌握7.1節的內容。 2 2 3 問題:求矩陣A=( 1 3 3 )的Jordan form -1 -2 -2 這題來自一位UCLA老師放在網路上的講義，權且貼出當作驗算: http://www.math.ucla.edu/~jlindquist/115B/JCFBases.pdf http://www.math.ucla.edu/~jlindquist/115B/JCF.pdf 以下是我的解法，用的是7.1節學到的東西: 先求characteristic polynomial，得det(A-tI)=-(t-1)^3，所以1是A唯一的eigenvalue， 而且它的algebraic multiplicity是3。令K為A對應1的generalized eigenspace、E為A對 應1的eigenspace。 目標:Find a basis β for K so that β is a disjoint union of cycles of generalized eigenvectors of A corresponding to 1. 根據Theorem 7.4.(c)，dim(K)等於1的algebraic multiplicity，也就是3，所以β只有 三種可能: 1.β is a disjoint union of three cycles of length 1. 2.β is a disjoint union of two cycles of respective lengths 1 and 2. 3.β is a cycle of length 3. -2 -3 計算E，發現E=span{( 1 ),( 0 )}，所以dim(E)=2，這讓我排除第一種可能，否則 0 1 三個cycle的initial vector會讓E有三個向量線性獨立，問題來了，不才之前碰到的都 是dim(E)=1，可以一口氣砍掉第一種可能跟第二種可能，接著就順順的做下去，但是現在 只能砍掉一個，我該怎麼辦？我大概看了那份UCLA的講義，它似乎暗示著只能走第二種可 能，那第三種可能是怎麼排除的呢？請賜教，謝謝。 ※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/09/2017 12:31:15 ※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/09/2017 12:32:31 剛剛算了一下，得到一個初步的結果: It can be shown that if x is the end vector of a cycle of length 3, 0 0 0 0 then (0 0 0)x≠(0). 顯然，β沒有一個向量能滿足這個條件，因此不需考慮第三種 0 0 0 0 可能。這題似乎就這麼結束了，但我覺得不太踏實，會不會有矩陣不具備上述條件？我是 說，會不會有矩陣只能排除第一種可能？上述的美好結果具有一般性嗎？ ※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/09/2017 13:48:13
推
12/09 18:42, 8年前 , 1F
12/09 18:42, 1F
→
12/09 18:43, 8年前 , 2F
取c2=-c1可以得到一個向量[1,1,-1]的轉置
12/09 18:43, 2F
→
12/09 18:44, 8年前 , 3F
解(A-I)y=上述向量，可以得到廣義特徵向量[1,0,0]轉
12/09 18:44, 3F
推
12/09 18:48, 8年前 , 4F
[1,1,-1]轉,[1.0.0]轉，是一個cycle
12/09 18:48, 4F
→
12/09 18:53, 8年前 , 5F
算完特徵空間，發現只有2維，因為只有一個特徵值，
12/09 18:53, 5F
→
12/09 18:56, 8年前 , 6F
廣義特徵空間一定是3維。
12/09 18:56, 6F
→
12/09 19:19, 8年前 , 7F
令B=(A-I)^2=O，因此沒有向量x能滿足Bx不為0向量
12/09 19:19, 7F
→
12/09 19:21, 8年前 , 8F
這樣能排除掉情況3;這題的關鍵應該就在於如何找出
12/09 19:21, 8F
Thanks for your feedback. But you just repeated the result I had derived.
→
12/09 19:22, 8年前 , 9F
length=2的那個cycle的initial vector，我是看到
12/09 19:22, 9F
→
12/09 19:23, 8年前 , 10F
因為這個initial vector，是特徵空間的中的其中一個
12/09 19:23, 10F
→
12/09 19:23, 8年前 , 11F
所以如果不是看到數字這麼特別，可能很不好算
12/09 19:23, 11F
What I am concerned about is whether there is a matrix for which we can't narrow down three possibilities of β to a single one. Something like an existence problem. Anyway. Thanks. ※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/10/2017 11:39:35
→
12/10 11:57, 8年前 , 12F
因為我的手上的版本跟你不同，我附上圖片:
12/10 11:57, 12F
→
12/10 11:59, 8年前 , 13F
12/10 11:59, 13F
→
12/10 11:59, 8年前 , 14F
12/10 11:59, 14F
→
12/10 11:59, 8年前 , 15F
12/10 11:59, 15F
→
12/10 12:00, 8年前 , 16F
不好意思 第一張應該是這張
12/10 12:00, 16F
→
12/10 12:00, 8年前 , 17F
12/10 12:00, 17F
→
12/10 12:02, 8年前 , 18F
雖然沒有直接說明，但結合這兩個定理，你提的三個
12/10 12:02, 18F
→
12/10 12:03, 8年前 , 19F
可能只會滿足其中一個;假設2.3.同時滿足，這樣就會
12/10 12:03, 19F
→
12/10 12:04, 8年前 , 20F
找到至少4個獨立的向量，那一些定理就被推翻了
12/10 12:04, 20F
→
12/10 12:06, 8年前 , 21F
這題會解得特徵空間是2維，因此可得知至少有2個
12/10 12:06, 21F
Somehow, you just can't leave the matrix A behind.
→
12/10 12:08, 8年前 , 22F
cycle，我們已經得知其中一個cycle的length>1
12/10 12:08, 22F
→
12/10 12:10, 8年前 , 23F
由上述定理推論length一定是2，否則就表示你找到定
12/10 12:10, 23F
→
12/10 12:11, 8年前 , 24F
理的反例。
12/10 12:11, 24F
→
12/10 12:13, 8年前 , 25F
總結:三種可能一定只滿足一種，且是在求出特徵值和
12/10 12:13, 25F
→
12/10 12:15, 8年前 , 26F
特徵空間就已經決定了。
12/10 12:15, 26F
Noted with thanks. The reward will be given later on. Still, the problem (not for the matrix A) remains to be solved, and I hope someday I can figure it out after finishing section 7.2. Intuitively, I think the question can be answered by the uniqueness of Jordan forms up to the order of Jordan blocks. This article is closed. ※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 12/10/2017 17:28:28
推
12/10 22:01, 8年前 , 27F
謝謝你的紅包，後面你應該會遇到一個6重根的example
12/10 22:01, 27F
→
12/10 22:01, 8年前 , 28F
,這樣的話點圖就不是三分法，而是要算(A-I)^p的rank
12/10 22:01, 28F
→
12/10 22:01, 8年前 , 29F
才能判斷，只要超過3階，可能性就會變很多。
12/10 22:01, 29F
推
12/10 22:11, 8年前 , 30F
比方說4重根的點圖就有：（4),(3,1),(2,2),(2,1,1),
12/10 22:11, 30F
→
12/10 22:11, 8年前 , 31F
(1,1,1,1)，共5種可能，單算特徵空間無法判斷
12/10 22:11, 31F
推
12/10 22:18, 8年前 , 32F
如果特徵空間2維，點圖有2種可能
12/10 22:18, 32F
→
12/10 22:41, 8年前 , 33F
我之前或許誤會你的意思了，我一直以為你是要問所
12/10 22:41, 33F
→
12/10 22:41, 8年前 , 34F
有的三階方陣。四階以上你需要dot diagram 才不容
12/10 22:41, 34F
→
12/10 22:41, 8年前 , 35F
易亂掉
12/10 22:41, 35F
推
12/10 23:08, 8年前 , 36F
If 3. holds, by Thm. 7.1.(b), dim span β = 3.
12/10 23:08, 36F
→
12/10 23:09, 8年前 , 37F
That is, span β = E. It contradicts Thm. 7.1.(a
12/10 23:09, 37F
→
12/10 23:12, 8年前 , 38F
sorry, the argument is not valid.
12/10 23:12, 38F
→
12/10 23:16, 8年前 , 39F
Let β = v1 (end), v2, v3 (init.)
12/10 23:16, 39F
→
12/10 23:17, 8年前 , 40F
span {v1, v2} ∩ E has dim 1. Pick a nonzero
12/10 23:17, 40F
→
12/10 23:24, 8年前 , 41F
v = a v1 + b v2 in it. 0 = (A-λI)^2 v = a v3
12/10 23:24, 41F
→
12/10 23:25, 8年前 , 42F
means v = b v2, contradicts Thm. 7.1.(a)
12/10 23:25, 42F
→
12/10 23:26, 8年前 , 43F
(v2, v3 are both eig. vec.)
12/10 23:26, 43F
‣ 更多 cyt147 的文章
文章代碼(AID): #1QAsRb-n (Math)