Re: [微積] 使用ε-δ定義證明f(x)=x^2在x=2時=4
※ 引述《zzss2003 (brotherD)》之銘言：
: ※ 引述《Desperato (Farewell)》之銘言：
: : (原文省略)
: 「給定任意ε>0，則(至少)有一個δ>0，使得
: 如果(if) 0 < |x-2| < δ 時，則有(then) |x^2-4| < ε」
: 我覺得這個句子裡，前後兩句話本身有矛盾。
: 第一句:給定任意ε>0(條件)，則(至少)有一個δ>0(結果)
: 第二句:使得如果0 < |x-2| < δ(條件)，則|x^2-4| < ε(結果)
: 以函數關係來表示以上句子，就是
: 第一句:如果在f(x)的Range裡面給定任意ε>0，則在x Domain裡面的x至少有一個δ>0。
: 第二句:如果在x Domain裡面的x-2範圍為0 < |x-2| < δ，則在f(x)的Range裡有
: |x^2-4| < ε。
: 所以到底是f(x)對應到x，還是x對應到f(x)?
: 您說0 < |x-2| < δ才是條件，|x^2-4|<ε是結果，這句符合題目的要求:You must
: show that for eachε>0(結果)，there exists a δ>0(條件)，所以我認為第二句才是正確的
嗯 因為你切錯了 正確的翻譯是
第一句: 給定任意ε>0(條件)，則(至少)有一個δ>0滿足第二句為真(結果)
第二句: 如果0 < |x-2| < δ(條件)，則|x^2-4| < ε(結果)
第一句話是存在性的說明 舉個例子 g: R -> R, g(x)=x^3-x
則對於任意實數 a，總是有一個實數 b 滿足 g(b) = a (因此 g 是 surjective 的)
: 第二，您說:也就是說，只要x離2夠近，x^2就能離4多近。這就是極限的定義本身
: 您的這句話讓我領悟極限的意思了。我的領悟為:
: 因為在x domain的線上，每一點都有定義，所以要δ有取多小就有多小(即: 因為x要多靠
: 近c就有多靠近(因為x在每一點上都有定義)，所以相對應的f(x)要多麼靠近L就有多靠近)
: 接著，在(3)裡面的第一排。
: δ=10如果是要符合0<|x-2|<δ這個條件，那x的範圍應該是-8 < x < 12，不是-9 < x <
: 11
: (4)
: 不好意思，小弟看不懂QQ
: (6)
: 我不懂，為什麼一開始的式子 0 < |x-2| < δ <= 1，在第二行會變成
: -1 <= x-2 <= 1
普通的拆絕對值 如果 |a| < 1 則 -1 < a < 1
: 我把我目前所理解的表達給您:當我們把x與2的距離限制在1(δ=1)以下(即:0 < |x-2| <
: 1)，可以知道透過x^2這個函式的鏡射得知，x^2與4的距離應該小於5(ε<5)。
: 也就是說，如果f(x)與L的距離要小於5，那x與2的距離就應該要在1以下。即δ<ε/5
正確來說 如果希望 f(x)與L的距離要小於5(目標)
那讓 x與2的距離要在1之下 可以達成目標
實際上如果你開心 讓 x與2的距離在0.1之下 仍然可以完成目標
x與2的距離"應該"要在1之下的意思
是指 如果x與2的距離超過1 就不會達成目標
但其實極限的定義不需要這個概念
舉例 f(x) = 1 (常數函數) 要證明 lim_(x->0) f(x) = 1
我們會說 給定ε>0 存在δ=1 使得若 |x-0| < δ 則 |f(x)-1| < ε
可是實際上就算 |x-0| > δ 我們還是有 |f(x)-1| < ε
但這不影響證明 證明仍然是有效的 極限也是存在的
: 直到今天才有空回覆您的文章，謝謝您這麼用心回覆我這一篇，至於原本的問題，我現在
: 了解極限的定義了:)
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嗯嗯ow o
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