Re: [微積] 使用ε-δ定義證明f(x)=x^2在x=2時=4
※ 引述《Desperato (Farewell)》之銘言：
: (原文省略)
「給定任意ε>0，則(至少)有一個δ>0，使得
如果(if) 0 < |x-2| < δ 時，則有(then) |x^2-4| < ε」
我覺得這個句子裡，前後兩句話本身有矛盾。
第一句:給定任意ε>0(條件)，則(至少)有一個δ>0(結果)
第二句:使得如果0 < |x-2| < δ(條件)，則|x^2-4| < ε(結果)
以函數關係來表示以上句子，就是
第一句:如果在f(x)的Range裡面給定任意ε>0，則在x Domain裡面的x至少有一個δ>0。
第二句:如果在x Domain裡面的x-2範圍為0 < |x-2| < δ，則在f(x)的Range裡有
|x^2-4| < ε。
所以到底是f(x)對應到x，還是x對應到f(x)?
您說0 < |x-2| < δ才是條件，|x^2-4|<ε是結果，這句符合題目的要求:You must
show that for eachε>0(結果)，there exists a δ>0(條件)，所以我認為第二句才是正確的
第二，您說:也就是說，只要x離2夠近，x^2就能離4多近。這就是極限的定義本身
您的這句話讓我領悟極限的意思了。我的領悟為:
因為在x domain的線上，每一點都有定義，所以要δ有取多小就有多小(即: 因為x要多靠
近c就有多靠近(因為x在每一點上都有定義)，所以相對應的f(x)要多麼靠近L就有多靠近)
接著，在(3)裡面的第一排。
δ=10如果是要符合0<|x-2|<δ這個條件，那x的範圍應該是-8 < x < 12，不是-9 < x <
11
(4)
不好意思，小弟看不懂QQ
(6)
我不懂，為什麼一開始的式子 0 < |x-2| < δ <= 1，在第二行會變成
-1 <= x-2 <= 1
我把我目前所理解的表達給您:當我們把x與2的距離限制在1(δ=1)以下(即:0 < |x-2| <
1)，可以知道透過x^2這個函式的鏡射得知，x^2與4的距離應該小於5(ε<5)。
也就是說，如果f(x)與L的距離要小於5，那x與2的距離就應該要在1以下。即δ<ε/5
直到今天才有空回覆您的文章，謝謝您這麼用心回覆我這一篇，至於原本的問題，我現在
了解極限的定義了:)
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