[其他] 初始 邊界與初始邊界問題

看板Math作者 (SaltLake)時間8年前 (2017/10/11 09:18), 8年前編輯推噓1(1推 0噓 22→)
留言23則, 1人參與, 8年前最新討論串1/1
常微分和偏微分方程的書會提到所謂的 初始值問題 邊界值問題 初始與邊界值問題 但是初始值和邊界值本來就是解微分方程 必要的條件之一 欠缺的話 方程式數目 不足以解出所定問題 那麼為何要特別對問題做這些分類? 另外 初值問題和初始邊界值問題的特性有 甚麼顯著差別? 所謂柯西問題是僅指初值問題還是也包括 初始邊界值問題? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.136.63.252 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1507684724.A.451.html
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10/11 15:29, 8年前 , 1F
1.如果方程式有"時間變數"跟"空間變數",
10/11 15:29, 1F
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10/11 15:29, 8年前 , 2F
時間變數會對應初值條件(不管邊界值是什麼),
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10/11 15:29, 8年前 , 3F
空間變數對應邊界值條件(不管初值是什麼).
10/11 15:29, 3F
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10/11 15:40, 8年前 , 4F
2.要解一個方程(證明解存在唯一 or 數值計算),
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10/11 15:41, 8年前 , 5F
通常會先問 要給什麼樣的初值/邊界值才合理
10/11 15:41, 5F
記得拉普拉絲方程配上全部純偏微方的邊界值 解無法確定? 但是有時候實務上的測量限制而只能提供這種邊界條件 這時候是否有辦法得到最佳近似解?
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10/11 15:41, 8年前 , 6F
3.柯西問題就是初值問題
10/11 15:41, 6F
那科西問包括初始與邊界值問題嗎? 畢竟偏微方會有時間以外的變數 ※ 編輯: saltlake (220.136.63.252), 10/11/2017 16:16:30
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10/11 16:51, 8年前 , 7F
拉普拉斯方程的domain要有對稱性, 才有解析解
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10/11 16:53, 8年前 , 8F
若沒有 就只能證"邊界條件滿足什麼性質 => 解存在"
10/11 16:53, 8F
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10/11 16:56, 8年前 , 9F
另, 沒有解析解可以跑數值解, 不過一般來說也不容易
10/11 16:56, 9F
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10/11 17:00, 8年前 , 10F
不同方程式的困難點不同, 要針對性的處理那些難點,
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10/11 17:01, 8年前 , 11F
常常是 case by case.
10/11 17:01, 11F
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10/11 17:07, 8年前 , 12F
最後, PDE的柯西問題我只知道兩種:
10/11 17:07, 12F
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10/11 17:12, 8年前 , 13F
a) domain是R^n, 通常假設解u在無窮遠處有"u = 0".
10/11 17:12, 13F
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10/11 17:13, 8年前 , 14F
b) domain是Periodic, 所以滿足周期性邊界條件.
10/11 17:13, 14F
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10/11 17:31, 8年前 , 15F
這種情況下(邊界條件確定了), 我們考慮初值就行了.
10/11 17:31, 15F
換言之 初始與邊界值問題當中只有一部分屬於科西問題? 另方面 初始與邊界值問題和純粹的邊界值問題之間又有怎樣關係? 初始邊界值問題會具備邊界值問題的所有特色嗎? ※ 編輯: saltlake (220.136.63.252), 10/11/2017 17:46:48
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10/11 22:03, 8年前 , 16F
1.對, 初/邊界值問題有一部分是科西問題
10/11 22:03, 16F
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10/11 22:24, 8年前 , 17F
2.有些方程式, 比方熱方程是初/邊值問題,
10/11 22:24, 17F
推
10/11 22:31, 8年前 , 18F
描述一個區域內的溫度如何隨時間變化,
10/11 22:31, 18F
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10/11 22:31, 8年前 , 19F
如果物體達到熱平衡, 溫度不再隨時間變化,
10/11 22:31, 19F
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10/11 22:32, 8年前 , 20F
=> 熱方程裡"溫度對時間偏微項"為零
10/11 22:32, 20F
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10/11 22:32, 8年前 , 21F
=> 熱方程變成拉普拉斯方程(即邊界值問題)
10/11 22:32, 21F
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10/11 22:32, 8年前 , 22F
=> 解變成原方程的 steady state solution
10/11 22:32, 22F
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10/11 22:41, 8年前 , 23F
3.目前我覺得這兩個東西是不一樣的
10/11 22:41, 23F
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