[機統&線代] 隨機矩陣的null space

看板Math作者 (真空管)時間8年前 (2017/08/26 04:51), 編輯推噓0(0推 0噓 14→)
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版上各位神人大家好 小弟在看paper的時候被一句簡單的敘述給電爆了... 還請各位大大幫忙解釋一下QQ The standard normal distribution on R^(MxN) is invariant under rotation, so the null space L=null(A) is almost surely a uniformly random (N-M) dimensional subspace of R^N. 背景是這樣的: A屬於R^(MxN)是一個矩陣,其中每個entry都follow N(0,1) 而當M<N的時候這個A會有null space L paper上寫說這個L會是一個uniformly random的subspace 首先...subspace是random這是甚麼意思?? 然後,作者又是怎麼能確認L會follow uniformly random呢?? 請大家幫忙開示一下~QQ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 211.76.55.190 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1503694273.A.A7E.html
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Gr(N, N-M)=O(N)/O(M)xO(N-M)是個homogeneous space
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O(N)上面有個Haar measure, 誘導出Gr(N, N-M)上的
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一個O(N)-invariant probability measure
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這個null space L所對應的測度 = 這個不變測度
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理由是: R^{MxN}中rank=M的矩陣構成的開子集合
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有一個O(N)共變的連續映射到Gr(N,N-M)
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R^{MxN}上的那個measure還是O(N)-不變
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把這個measure推到Gr(N,N-M)上之後就是L的測度
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所以L的測度也會O(N)-不變，也就是說它是uniform
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因為homogeneous space上的不變機率測度只有一個
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這個Gr上的O(N)-不變測度就必須是從O(N)推下的那個
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哇…大大你講的很順很自然可是我完全跟不上…QQ
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能否請大大推薦一個基本讀物讓小弟先補一下backgrou
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nd呢？
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