Re: [微積] 極限
※ 引述《cuttlefish (無聊ing ><^> .o O)》之銘言：
: f是R映到R的連續函數, 且對於每個c>0, 數列 f(c), f(2c), f(3c), ... 收斂到0,
: 試證明 lim f(x) = 0.
: x->inf
: 謝謝
使用反證法 若 lim_(x->inf) f(x) 不為0
則存在 c>0 使得 lim_(n->inf) f(nc) 也不為0
(Lemma) 給定任意 I = [a, b], 0 < a < b, 存在正整數 N 使得
任意 J = [a', b'], N < a' < b
皆存在一個正整數 n, 使得 nI 交集 J 長度大於0
因此有 I' = [c, d], a <= c < d <= b 使得 nI' = nI 交集 J
(pf) 最後一行是前面的推論。
令 M 為最小正整數 使得 mb > (m+1)a for all m >= M
則 mI 交集 (m+1)I 不為 0, 因此 union mI = [Ma, inf)
令 N 為不小於 Ma 的正整數，則對於任意 N < a' < b'
[a', b'] 與 union mI 交集長度大於0
因此存在 n 使得 [a', b'] 與 nI 交集長度大於0
現在來證原本的命題
已知存在 epsilon > 0 使得 對於任意正整數 N
都有一個 r > N 使得 |f(r)| > epsilon
由於 f 是連續函數 存在閉區間 J = [a', b'], N < a' < b'
使得 |f(J)| > epsilon
令 I_0 = [1, 2]
根據lemma, 存在一個正整數 N_1 以及上面的 J_1
使得有個 n_1*I_1 = nI_0 交集 J for some 正整數 n, I_1 in I_0
找下一個 I_2 的時候 記得要讓 N_2 在 J_1 右邊
這樣 J_k 才會彼此互斥, n_k 也才會彼此相異
以同樣的方式 可以找到 I_1 包含 I_2 包含 I_3 ...
以及對應的 n_k 使得 |f(n_k*I_k)| > epsilon for all k
因此存在 c in 交集 I_k 使得 |f(nc)| > epsilon for all n = n_1, n_2, ...
c 當然 in I_0, c>0
因此 lim_(n->inf) f(nc) 不為 0, 得證。
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