[其他] 平面點輻射源如何排列可使輻射量較平均？

看板Math作者 (高陽酒徒)時間8年前 (2017/04/14 06:35), 8年前編輯推噓0(0推 0噓 14→)
留言14則, 1人參與, 最新討論串1/1
假設我在某個有限的空間平面上有一堆點輻射源可排置， 怎樣可以讓平面上的輻射量相對「均勻」且平均接近 1？ （順便問一下怎樣可以給個較好的均勻的定義？ 　直覺來說，就是希望輻射量最高的點與最低的點差距不太大。） （平面有限空間內可放置許多點輻射源） │ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ │ │‧ ‧ ‧ ‧ ‧‧ ‧ ‧ │ │ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ │ │ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ │ ─────────────────── 另外以下幾點也用以簡化問題： a) 點輻射源不耗竭，由該點向外均勻等速散出 b) 其輻射力在距離上以線性方式遞減至0爲止 c) 平面各點的輻射力以線性方式疊加 d) 每個點輻射源在該點散出 1 單位，至半徑 1 處減爲 0 e) 雖說我的點輻射源不限量，但由於目標是平均 1， 　故不可放置無限多個（某種意義上是「最」均勻？）。 一維圖示：設有 A、B 兩個點輻射源 A 　　　　　　　 B ‧ → → → → → → ‧ ← ← ← ← ← ← 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 （A點散射線性遞減至B爲0） 　0.2 0.4 0.6 0.8 1 （B點散射線性遞減至A爲0） 1　1　 1　 1 　1 　1 （這條直線上各點疊加後輻射量皆1） http://imgur.com/pdtST1N
以下例圖。 http://imgur.com/mksyFNq
假設各輻射源彼此間以正三角形方式排列， 輻射遞減由該輻射源爲 1 出發，至下一個減到 0， 那麼中間某點會受到周圍四個輻射源影響而得的疊加。 疊加量可以用正三角形邊長比計算出來。 http://imgur.com/s8flZ4Z
直覺上來說， 點與點間呈正三角形的堆疊法似乎最均勻？ 但有辦法給個好的均勻的定義且證明之嗎？ -- Immer mit den einfachsten Beispielen anfangen. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　David Hilbert -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.160.35.40 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1492122949.A.67E.html ※ 編輯: khara (1.160.35.40), 04/14/2017 06:40:32
→
04/14 06:39, , 1F
如果只是給定義的話 用標準差怎麼樣 越小的越均勻
04/14 06:39, 1F
感謝！ 那麼能否證明哪種排法標準差最小呢？ ※ 編輯: khara (1.160.35.40), 04/14/2017 06:41:23
→
04/14 06:41, , 2F
當然不行啊 看起來好難www
04/14 06:41, 2F
→
04/14 06:43, , 3F
假設答案是週期排列可能會好一點 不過感覺還是很難
04/14 06:43, 3F
XDDD 感覺上很直覺的東西，真要做起來似乎很難呢！ 由對稱性來想， 似乎以正多邊形排置最佳？ 而正多邊形中又似乎是正三或正六最佳？ 這個似乎用軟體模擬可得各種測試值， 可是真要證明起來卻是個累人的功夫。 QQ ※ 編輯: khara (1.160.35.40), 04/14/2017 06:45:40
→
04/14 06:46, , 4F
我想到的是sphere packing 雖然可能和這無關
04/14 06:46, 4F
→
04/14 06:47, , 5F
就是把一堆球丟到平面上 最緊密的排列法
04/14 06:47, 5F
→
04/14 06:47, , 6F
印象中非常不好證明(還是我記錯了
04/14 06:47, 6F
對。 我想到的也是材料上的最密堆積。 感覺上會是個最有效率的手段。 其實也許不把他想像成點而改想成球會更好？ www 但想來證明不是很簡單。（排積木根本是智力測驗啊！） 另外有人說有個 Lloyd's algorithm， 也不知是怎麼用…… ※ 編輯: khara (1.160.35.40), 04/14/2017 06:51:02
→
04/14 06:55, , 7F
如果是正三角形排法 那距離大概是
04/14 06:55, 7F
→
04/14 06:57, , 8F
sqrt(2pi/sqrt(27)) ~ 1.1 左右
04/14 06:57, 8F
→
04/14 06:58, , 9F
平均會是exactly 1 標準差懶的算(?
04/14 06:58, 9F
→
04/14 06:59, , 10F
我覺得正方形或長方形可以考慮
04/14 06:59, 10F
→
04/14 07:00, , 11F
畢竟中間的地方 三角形的case會堆太多
04/14 07:00, 11F
→
04/14 07:00, , 12F
用軟體模擬應該會比直接證明快
04/14 07:00, 12F
→
04/14 07:00, , 13F
畢竟排列方式和 光源散布的函數 也有關係
04/14 07:00, 13F
→
04/14 07:01, , 14F
(例如我原本以為是距離反比 仔細一看才發現是線性
04/14 07:01, 14F
其實通常的物理推測該是與 1/r 成正比沒錯。 只是這裡為了簡化問題而且避免點核無窮大的問題， 才把他當作線性希望好算些。 不過如果說正三角形會造成中間太強…… 那麼我的直覺就錯了啊哈哈！XD （不過我的直覺本來就常出錯） ※ 編輯: khara (1.160.35.40), 04/14/2017 07:21:50
‣ 更多 khara 的文章
文章代碼(AID): #1Ox_r5P- (Math)