Re: [微積] 極限
※ 引述《pp61022 (fight)》之銘言：
: 想問一題極限問題，如下圖，我從網路上看到的
: 當n趨近無限大時，為什麼會變成exp(t)?
: 那下面另一條也是如此嗎？
: http://i.imgur.com/7ZhMLSX.jpg
: 微積分有點弱，懇請大家幫忙解惑，謝謝大家
e 有很多定義方法
根據你的問題我們採取以下流程：
(1) 證明 (1+1/n)^n 遞增有上界，因此實數公設說他是收斂的，定義為e
(2) 由(1)證明 lim (1+1/x)^x 亦為 e
x→+∞
(3) 由(2)與羅畢達證明 lim (1+1/x)^x 亦為 e
x→-∞
(相當於證 lim (1-1/x)^x = 1/e )
x→+∞
(4) 由(2),(3) 證明 e^t = lim (1+t/x)^x , for all t€R
x→+-∞
再來就可以回答你的問題：
(一) 1/(1-2t/n)^(n/2) = 1/(1-t/(n/2))^(n/2) → 1/e^(-t) = e^t
(二) 1/(1-2t/n^2)^(n/2)
= 1/[(1-t/(n^2/2))^(n^2/2)]^(1/n) → 1/(e^(-t))^(1/n) = 1/1 = 1
嚴格說來，最後一步沒那麼嚴謹
你需要嚴格證明：if a_n → L > 0 then (a_n)^(1/n) → 1
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推
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