[線代] R^T A R = B A

看板Math作者時間7年前 (2017/04/06 11:04), 編輯推噓11(11推 0噓 15→)
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有個問題一直想了很久都想不出來， 所以想請問各位強者一個線代的相關問題： 1. R是2*2旋轉矩陣，給定某一A矩陣， 是否必定存在一個矩陣B， 使得R^T A R = B A？ 可以證明嗎？ 是否唯一？ 2. 又如果B存在， 能否僅以R和A的element來表達B的element? 3. 如果R推廣成Q 如果必存在一C使得 Q^(-1) A Q = CA 則滿足這種關係式的的Q是否有什麼特別的條件 不用窮舉，我只想知道有哪些情況的Q能夠滿足這種關係式 感謝各位強者的解答 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.56.10.112 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1491447887.A.C94.html
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04/06 11:11, , 1F
類似R^T A R = B A這種關係式，我在量子力學看過很
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多次，但是對於數學含意不知其所以然，感謝強者指導
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推
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你的A是不是少條件
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量子力學中是Hermitian 但是這個可能不是必須條件?
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推
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我的線代不是很好 不過你兩邊取det()後不覺得怪怪
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的嗎？
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det(B) = 1
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以上是兩邊取det自然得到的結果
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若 det(A)不為0 det(B) = 1 才成立吧
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對，det(A)應該要不為0，才會det(B)=1，但這些正是
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我的問題，有沒有什麼該有的限制條件能夠得到這個關
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類似這個關係式
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推
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題外話，量力裡面這種式子，通常R和B根本作用在不同
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空間吧？
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推
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A可逆一定存在，A不可逆，這個B不一定存在，假如必`
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推
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存在，那你把等式左右同乘A的null space中的向量x，
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推
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旋轉矩陣把x轉走就不落在A的null space了，那就會得
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推
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到非零向量等於零向量，所以加條件應該是A可逆，或R
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推
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是旋轉180度或是360度的旋轉矩陣才行
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推
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就是R是正或負單位矩陣，或A可逆
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第二個問題，如果A可逆，兩邊同乘A的逆矩陣就得到B`
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推
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喔還有A是零矩陣也行，忘了trivial case 剛才的討窯
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是建立在null space 是ㄧ維子空間，也就是過原點的`
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線
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推
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第三題你可以想看看，Q就是要保持A的零空間不動
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謝謝各位，我再消化一下。如果有問題，會再請教各位
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