Re: [中學] 一題不等式消失
※ 引述《lovedjan (艾)》之銘言：
: 設a,b,c均為正數，試證：
: [ab(a+b)]^1/2+[bc(b+c)]^1/2+[ac(a+c)]^1/2 > [(a+b)(b+c)(c+a)]^1/2
: 請各位幫忙了，謝謝。
須知ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc=(a+b)(b+c)(c+a)
怎樣分解
才有辦法證明
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc
=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-a^3-b^3-c^3+2abc
=(b+c)(b^2+c^2)+(c+a)(c^2+a^2)+(a+b)(a^2+b^2)+2abc
=(b+c)^3+(c+a)^3+(a+b)^3-2bc(b+c)-2ca(c+a)-2ab(a+b)+2abc...(1)
=[(b+c)+(c+a)+(a+b)][(b+c)^2+(c+a)^2+(a+b)^2-(b+c)(c+a)-(c+a)(a+b)-(a+b)(b+c)]
+3(a+b)(b+c)(c+a)-2bc(b+c)-2ca(c+a)-2ab(a+b)+2abc
然後移項
ab(b+c)+bc(b+c)+ca(c+a)=(2/3)(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+(a+b)(b+c)(c+a)
ab(b+c)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc=(2/3)(a^3+b^3+c^3)+(a+b)(b+c)(c+a)
再將(1)
整理一下
(b^3+c^3)+(c^3+a^3)+(a^3+b^3)
=2(a^3+b^3+c^3)=0...求值公式b^3+c^3=(b+c)^3-3bc(b+c),其餘類推.
即得
ab(b+c)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc=(a+b)(b+c)(c+a)
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04/04 11:31, , 1F
04/04 11:31, 1F
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