[線代] B = A*A'，如何保證 B 是 nonsingular
我有朋友問了一個問題：
我有個長方型的矩陣A，B = A * A'，然後這個方陣B是singular無法取inverse。我想問
是矩陣A的什麼特性導致這個結果的？
(A'為Transpose)
我的解法是：
假設 A 為一個 m by n 的矩陣，則 B = AA' 為一個 m by m 的square matrix
對任一大小為 m by m 的square matrix要有inverse 存在，
其 Rank必須等於 m，也就是 Rank(B) = m
我們又知道， Rank(B) = Rank(AA') <= Rank(A) = Rank(A')；
也就是說，m <= Rank(A)，B矩陣的inverse才有機會存在。
對於一個m by n 的 A矩陣來說，Rank(A)最大只能是m 跟 n 比較小的那一個。
如果m>n，則 Rank(A)<= n < m，不可能成立；
如果m<n，則 Rank(A) <= m，有機會成立。
所以對 B = AA'，A為一個 m by n 的矩陣，在m<n的狀態下(比方說: A有2個rows,3個
columns)且 Rank(A) = m 的情況下，
B 矩陣的inverse有機會存在。
問題：
我的解法只能說：在 m<n 且 Rank(A)=m 的情況下，B 的inverse 有機會存在，但不保證
Rank(B)=m 啊!!
有沒有大大能指正我想法中的錯誤或不足的地方? 主要我想知道矩陣 A 要滿足怎樣的條
件才能保證 Rank(B) = m ?
謝謝
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感謝兩位大大，關鍵字跟方向get!! 我再想一下接下來怎做。
※ 編輯: skyconquer (27.147.4.108), 09/30/2016 17:11:53
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