[代數] Sylow子群的問題
設G是秩為p^2q^2的群,其中p,q是相異質數
要證明G的某一個Sylow子群必是正則子群
書上推論到p = 2,q = 3,
且3-Sylow子群有4個
並且2-Sylow子群的數目只能是1或3
接著假設2-Sylow子群的數目是3
然後說
找出 K normal in G ,|K|=6 ,K⊂H
(其中H是某個2-Sylow子群的normalizer)
我不懂的是
為什麼|K| = 6
|K|不能 = 12嗎?
書上是有提到H不為G的正則子群
不過我看不懂是因為|K| = 6
所以H不是正則子群
還是因為H不是正則子群
所以|K|不能是12 ???
PS:另外,這是我的證明
令p<q
根據Sylow定理
1+qm = 1 or p or p^2
<case1>1+qm = 1
q-Sylow子群為正則子群
<case2>1+qm = p
=> q | (p-1) =>與p<q矛盾
<case3>1+qm = p^2
p^2個q-Sylow子群共有1+p^2(q^2-1)
|G|=p^2q^2
因此只剩下p^2-1個元素
所以只有一個p-Sylow子群
書上則是寫了一大堆,不知道是不是因為
這個方法有哪裡不嚴謹,請順便幫我看看
感恩
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.253.1.181
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1473328018.A.399.html
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因為[G:H]=3
根據定理(書上有提到的)
存在 K ,K is normal in G,K⊂H,
且[G:K] | [G:H]!
所以K可以等於12或6
我就是這邊不懂,為什麼不能等於12
※ 編輯: nobrother (111.253.1.181), 09/08/2016 21:43:01
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喔喔,太感謝了
所以L=H,否則H的Sylow group不只一個
跟P normal in H 矛盾
所以H不能在任何的G的子群裡面normal
請問我這樣的理解對嗎
※ 編輯: nobrother (111.253.1.181), 09/09/2016 11:06:11
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