[代數] normal subgroup的問題

看板Math作者 (nono)時間9年前 (2016/08/21 12:12), 9年前編輯推噓4(4推 0噓 22→)
留言26則, 5人參與, 最新討論串1/1
設f:G--->G'是群G到群G'的同態,H是G的子群, 如果G'是交換群,並且Kerf⊂H, 則H是G的正則子群(normal subgroup) 我想了一整天,一直卡住 只想到若G'是交換群,則 f(xhx_-1)=f(h) f(xy)=f(yx) 因為Kerf⊂H (令Kerf為K) 所以K是H的正則子群 求一些提示,感恩 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.253.16.235 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1471752758.A.C20.html
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08/21 13:12, , 1F
corresponding isomorphism theorem
08/21 13:12, 1F
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08/21 13:16, , 2F
再不行的話 反正看到kernel就quotient下去就對了
08/21 13:16, 2F
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08/21 13:30, , 3F
Abelian group的每個subgroup不都是normal嗎？
08/21 13:30, 3F
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08/21 13:31, , 4F
所以...是我看錯題目，還是你看錯題目？
08/21 13:31, 4F
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08/21 13:31, , 5F
啊是我看錯...原來有分G'和G
08/21 13:31, 5F
利用first isomorphism theorem 存在g:G/K--->G' , 其中g是monomorphism 又K⊂H 令H'={f(x)∈G':x∈H} G = H+g_2H+...+g_mH = H+Hg_2+...+Hg_m (g_1=e) 觀察gH和Hg (g∈G) 因為G'是Abelian group gH.Hg的元素經過f對應之後,都會落在f(g)H'中 又因為是injection G中也只有gH或Hg可以對應到f(g)H' 然後gH跟Hg都包含於G 且|gH|=|Hg| 所以gH=Hg , 對所有G的元素g 請問這樣可以嗎? (抱歉我的敘述能力很差) ※ 編輯: nobrother (111.253.16.235), 08/21/2016 15:38:34
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08/21 16:16, , 6F
最快的辦法：取 h:G'->G'/(Hf) 則 ker(fh)=H
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08/21 16:17, , 7F
(因為 G' 交換，所以子群 Hf 為正則子群)
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08/21 16:18, , 8F
這個就是 D大說的直接 quotient
08/21 16:18, 8F
推
08/21 16:18, , 9F
f(xhx^-1)=f(h)就可以知道xhx^-1=hk，然後就掉進H了
08/21 16:18, 9F
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08/21 16:21, , 10F
其中k是Ker(f)中的某元素
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08/21 16:26, , 11F
噢噢k大好快喔 我還要慢慢對應XD
08/21 16:26, 11F
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08/21 16:28, , 12F
應該寫 在{gH}中只有gH對到f(g)H' 所以Hg in gH
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08/21 16:28, , 13F
反過來也是所以一樣
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08/21 16:29, , 14F
應該說Hg sub gH才對
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08/21 16:32, , 15F
謝謝大家，我再慢慢消化
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08/21 17:09, , 16F
K的方法太猛了，感恩
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08/21 17:09, , 17F
請問V大，不用考慮會有f(y)=f(h)的情況嗎
08/21 17:09, 17F
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08/21 17:10, , 18F
謝謝D大提醒
08/21 17:10, 18F
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08/21 17:23, , 19F
他考慮了啊 如果f(y)=f(h) 則 y = hk, k in kerf
08/21 17:23, 19F
是,因為我一開始就是卡在這邊卡很久 一直在想會不會有 y =/= hk 然後f(y)=f(h) 後來才推導上面那一大堆 想說這是不是有比較簡潔的看法 ※ 編輯: nobrother (111.253.16.235), 08/21/2016 17:58:13
推
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因為f(h^-1xhx^-1)=e'，所以h^-1xhx^-1屬於Ker(f)。
08/22 01:10, 20F
推
08/22 17:17, , 21F
D大應該是說：Ker(f)<H<G，然後一起quotient Ker(f)
08/22 17:17, 21F
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H/Ker(f) normal in G/Ker(f) (因為大家都abelian)
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對應回去就是H normal in G
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推
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所以還有大絕XD Any subgroup contains the
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08/22 17:26, , 25F
commutator is a normal subgroup.(這題就是證這個)
08/22 17:26, 25F
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08/22 22:41, , 26F
對吼那就是commutator 超不熟這個
08/22 22:41, 26F
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